Oppgave

Areal og omkrets av plane figurer

Klarer du å finne arealet og omkretsen av figurene nedenfor? Oppgavene kan løses med alle hjelpemidler hvis ikke annet er angitt.

2.3.20

Gitt rektangelet $A B C D$ nedenfor.

Rektangel A B C D der A B er 6,0 meter og B C er 2,0 meter. Illustrasjon. — Bilde: Stein Aanensen, Olav Kristensen / CC BY-SA 4.0

a) Regn ut arealet av rektangelet.

Løsning

Arealet er $6 m \cdot 2 m = 12 m^{2}$ .

b) Regn ut lengden av diagonalen $A C$ .

Løsning

Bruker Pytagoras’ læresetning og finner diagonalen.

$\begin{array}{rcl} A C^{2} & = & 6, 0^{2} + 2, 0^{2} \\ A C & = & 6, 32 \end{array}$

Diagonalen $A C$ er ca. 6,3 meter.

c) Regn ut arealet av trekanten $A B C$ .

Løsning

Arealet av trekanten $A B C$ er

$\frac{6, 0 m \cdot 2, 0 m}{2} = 6, 0 m^{2}$

d) Hva er arealet av trekanten $A C D$ ?

Løsning

Trekantene $A B C$ og $A C D$ er formlike og like store.

Arealet av $A B C$ er derfor det samme som arealet av $A C D$ , altså 6,0 m².

2.3.21 (uten hjelpemidler)

Et kvadrat har sidelengde på 10,0 cm. Regn ut arealet av kvadratet.

Løsning

Sidene i et kvadrat har lik lengde.

Arealet av kvadratet er

$10, 0 cm \cdot 10, 0 cm = 100, 0 {cm}^{2}$

2.3.22

a) Mål opp pulten din og regn ut arealet.
b) Sjekk om du får samme areal som eleven nærmest deg.
c) Hva er årsaken dersom dere ikke fikk samme svar? Målefeil? Ulik størrelse? Avrunding?

2.3.23 (uten hjelpemidler)

Gitt firkanten $A B C D$ .

I firkanten A B C D er hjørnene A og D rettvinkla. Normalen fra C ned på A B skjærer A B i punktet F. A D er 2 m, A F er 6 m og B F er 3 m. Illustrasjon. — Bilde: Stein Aanensen, Olav Kristensen / CC BY-SA 4.0

a) Hva slags type firkant er dette? Forklar hvorfor.

Løsning

Firkanten $A B C D$ er et trapes fordi sidene $A B$ og $C D$ er parallelle.

b) Finn arealet av firkanten $A B C D$ .

Løsning

Sidelengden $A B$ er

$6 m + 3 m = 9 m$

Arealet av trapeset $A B C D$ er

$(\frac{9 m + 6 m}{2}) \cdot 2 m = \frac{15 m}{2} \cdot 2 m = 15 m^{2}$

c) Finn arealet av trekanten $F B C$ og firkanten $A F C D$ .

Løsning

Arealet av trekanten $F B C$ er

$\frac{3 m \cdot 2 m}{2} = 3 m^{2}$

Firkanten $A F C D$ er et rektangel. Arealet av rektangelet $A F C D$ er

$6 m \cdot 2 m = 12 m^{2}$

d) Legg sammen arealene du fant i c). Hva observerer du?

Løsning

Summen blir $3 m^{2} + 12 m^{2} = 15 m^{2}$ .

Arealet av trekanten + arealet av rektangelet er det samme som arealet av trapeset. (Heldigvis :))

2.3.24 (uten hjelpemidler)

Finn arealet av parallellogrammet $E F G H$ .

I parallellogrammet E F G H er siden G H lik 4 desimeter og normalen fra G H ned på E F er 2 desimeter. Illustrasjon. — Bilde: Stein Aanensen, Olav Kristensen / CC BY-SA 4.0

Løsning

Arealet av parallellogrammet $E F G H$ er grunnlinjen multiplisert med høyden.

$4 dm \cdot 2 dm = 8 {dm}^{2}$

2.3.25 (uten hjelpemidler)

Finn arealet av trekanten $A B C$ .

I trekanten A B C er A B 2 centimeter og B C 5 centimeter. Høyden h går ned fra C og treffer forlengelseslinja gjennom A B 3 centimeter utenfor B. Illustrasjon. — Bilde: Stein Aanensen, Olav Kristensen / CC BY-SA 4.0

Løsning

Finner først høyden $h$ fra $C$ ned på linja gjennom $A B$ .

Pytagoras’ læresetning gir:

$\begin{array}{rcl} h^{2} & = & 5^{2} - 3^{2} \\ h^{2} & = & 25 - 9 \\ h & = & \sqrt{16} \\ h & = & 4 \end{array}$

Arealet av trekanten $A B C$ er

$\frac{grunnlinje \cdot høyde}{2} = \frac{2 cm \cdot 4 cm}{2} = 4 {cm}^{2}$

2.3.26

Regn ut arealet av sirkelen.

Sirkel med sentrum S og radius 3,0 centimeter. Illustrasjon. — Bilde: Stein Aanensen, Olav Kristensen / CC BY-SA 4.0

Løsning

$3, 14 \cdot 3, 0^{2} = 28, 27$

Arealet av sirkelen er 28 cm².

2.3.27

Gitt en halvsirkel med radius 5 m. Regn ut arealet av halvsirkelen.

Halvsirkel med sentrum i S og radius 5,0 meter. Illustrasjon. — Bilde: Stein Aanensen, Olav Kristensen / CC BY-SA 4.0

Løsning

$\frac{3, 14 \cdot 5, 0^{2}}{2} = 39, 27$

Arealet av halvsirkelen er 39 m².

2.3.28

DVD. Foto. — Bilde: Pixtal, NTB scanpix / CC BY-NC-SA 4.0

Ei DVD-plate har en diameter på 12,0 cm. Innerst er det et hull med en diameter på 1,5 cm. Finn arealet av DVD-plata.

Løsning

Radien til DVD-plata er 6,0 cm, og radien til hullet er 0,75 cm.

$3, 14 \cdot 6, 0^{2} - 3, 14 \cdot 0, 75^{2} = 111, 33$

Arealet av DVD-plata er 111 cm².

2.3.29

Mangekant som består av to delvis overlappende rektangler der sidene er parvis parallelle. Det ene rektangelet har målene 8000 millimeter og 7000 millimeter, mens det andre har målene 8000 millimeter og 6000 millimeter. Overlappet mellom rektanglene er også rektangelformet og har målene 2500 millimeter og 3000 millimeter. Fra motsatt ende av siden som overlapper med 2500 millimeter går en av sidene i mangekanten direkte til nærmeste hjørne på det andre rektangelet. Illustrasjon. — Bilde: Stein Aanensen, Olav Kristensen / CC BY-SA 4.0

Stian skal sette opp et bygg. Grunnflaten har form som vist på tegningen ovenfor. Alle målene er gitt i millimeter (mm).

Vis at grunnflaten til bygget har et areal på 107,5 m².

Løsning

Oppgaven kan løses på flere måter. Løsningen her er bare ett av mange alternativ.

Metode:

Finner arealet av de to store firkantene.

Legger til arealet av trekanten.

Trekker i fra det området der de to firkantene overlapper hverandre.

Areal av den øverste store firkanten:

$7, 0 m \cdot 8, 0 m = 56, 0 m^{2}$

Areal av den nederste store firkanten:

$8, 0 m \cdot 6, 0 m = 48, 0 m^{2}$

Areal av trekanten:

$\frac{(8, 0 m - 2, 5 m) \cdot (7, 0 m - 3, 0 m)}{2} = \frac{5, 5 m \cdot 4, 0 m}{2} = 11, 0 m^{2}$

Areal av det området som blir med i begge de store firkantene:

$2, 5 m \cdot 3, 0 m = 7, 5 m^{2}$

Samlet areal blir:

$56, 0 m^{2} + 48, 0 m^{2} + 11, 0 m^{2} - 7, 5 m^{2} = 107, 5 m^{2}$

2.3.30

Figur med utgangspunkt i en likesidet trekant med sider lik 30,0 centimeter. Midt på en av sidene er det skåret ut en halvsirkel med diameter 10,0 centimeter. Illustrasjon. — Bilde: Stein Aanensen, Olav Kristensen / CC BY-SA 4.0

Figuren viser en likesidet trekant med sider 30,0 cm. Utskjæringen er en halvsirkel med diameter 10,0 cm.

a) Regn ut høyden i trekanten.

Løsning

Trekanten er likesidet. Høyden treffer dermed midt på grunnlinjen. Bruker Pytagoras’ læresetning og finner høyden $h$ i trekanten.

$\begin{array}{rcl} h^{2} + 15^{2} & = & 30^{2} \\ h^{2} & = & 900 - 225 \\ h^{2} & = & 675 \\ h & = & \sqrt{675} = 25, 98 \end{array}$

Høyden i trekanten er ca. 26,0 cm.

b) Regn ut arealet av den utskårne trekanten.

Løsning

Arealet av hele trekanten minus arealet av halvsirkelen.

$\frac{30, 0 \cdot 26, 0}{2} - \frac{3, 14 \cdot 5, 0^{2}}{2} = 350, 73$

Arealet er 351 cm².

c) Regn ut omkretsen av den utskårne trekanten.

Løsning

Omkretsen av halvsirkelen er $\frac{π \cdot d}{2}$ .

$\frac{3, 14 \cdot 10}{2} + 30 \cdot 2 + 30 - 10 = 95, 71$

Omkretsen av trekanten blir dermed 95,7 cm.

2.3.31

Figuren nedenfor viser en arbeidstegning. Målene er satt på figuren.

Figur satt sammen av to rektangler og en likebent trekant. Inntil den korteste siden av det første rektangelet er langsiden til det andre rektangelet plassert slik at det stikker ut like mye på hver side. Den andre langsiden danner grunnlinjen i trekanten, der høyden er 8 centimeter. Grunnlinjen i trekanten er største bredde på figuren, som er 12 centimeter. Kortsiden i det første rektangelet er 6 centimeter. Hele lengden av figuren er 23 centimeter. Hele lengden på figuren unntatt trekantdelen er 13 centimeter. Illustrasjon. — Bilde: Stein Aanensen, Olav Kristensen / CC BY-SA 4.0

Regn ut overflaten (arealet) av gjenstanden.

Løsning

Overflaten av det store rektangelet:

$6 cm \cdot 13 cm = 78 {cm}^{2}$

Overflaten av det lille rektangelet:

$2 cm \cdot 12 cm = 24 {cm}^{2}$

Overflaten av trekanten:

$\frac{12 cm \cdot 8 cm}{2} = 48 {cm}^{2}$

Samlet overflate av gjenstanden:

$78 {cm}^{2} + 24 {cm}^{2} + 48 {cm}^{2} = 150 {cm}^{2}$

2.3.32

Hvilken figur har størst areal, en sirkel med radius 4,00 cm eller et kvadrat med sidelengde 7,00 cm?

Løsning

Arealet av sirkelen: $π \cdot r^{2} = 3, 14 \cdot 4, 0^{2} = 50, 27 {cm}^{2}$

Arealet av kvadratet: $7, 00^{2} {cm}^{2} = 49 {cm}^{2}$

Arealet av sirkelen er størst.

2.3.33

Regn ut arealet av det skraverte området på figuren.

Rektangel med lengde 6,0 meter og bredde 3,0 meter dekket av to kvarte sirkler med radius 3,0 meter og som er plassert med sentrum i to hjørner diagonalt overfor hverandre. Illustrasjon. — Rektangel med sirkelsektorer. Bilde: Stein Aanensen, Olav Kristensen / CC BY-SA 4.0

Løsning

Arealet av hele rektangelet: $6, 0 m \cdot 3, 0 m = 18 m^{2}$

Areal av de to kvartsirklene: $2 \cdot \frac{π \cdot (3, 0 m)^{2}}{4} = 14, 13 m^{2}$

Arealet av det skraverte området blir:

$18 m^{2} - 14, 13 m^{2} = 3, 87 m^{2} \approx 3, 9 m^{2}$

2.3.20

2.3.21 (uten hjelpemidler)

2.3.22

2.3.23 (uten hjelpemidler)

2.3.24 (uten hjelpemidler)

2.3.25 (uten hjelpemidler)

2.3.26

2.3.27

2.3.28

2.3.29

2.3.30

2.3.31

2.3.32

2.3.33

Regler for bruk av teksten "Areal og omkrets av plane figurer"