Formlikhet

Studer de russiske dukkene på bildet under. Med noen få variasjoner ser vi at dukkene er helt like i form, men de har ulik størrelse.

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-NC-SA

Bilde: Per Mækitalo

Studer så figurene A, B og C. Beskriv forskjeller og likheter mellom figurene til en medelev.

Som du kanskje har sett, er det en likhet mellom figur B og figur C. Disse figurene har samme form. Forskjellen er at figur C er en forstørret utgave av figur B. Figur A har en annen form. Dette ser vi tydelig hvis vi ser på vinkelen mellom de vannrette linjestykkene og de skrå.

Figuren nedenfor viser to formlike trekanter. Den store trekanten er et forstørret bilde av den lille trekanten, og den lille trekanten er et forminsket bilde av den store trekanten. Som du ser, er to og to vinkler like store. Hvis vi vet at alle vinkelparene i en trekant er like store, vet vi også at trekantene er formlike. (Legg merke til at dette bare gjelder trekanter, i andre figurer kan det hende vi trenger flere opplysninger.)

Vi skal også se at det er en sammenheng mellom lengden på sidene i de to trekantene.

De to sidene som ligger overfor (det vil si på motsatt side av) to vinkler som er like store, ligger på samme sted i de to trekantene, og vi kaller dem for samsvarende sider.

På figuren over er dermed de blå sidene med lengde 4 og 12 samsvarende fordi de ligger overfor de blå vinklene, som er 104°. På samme måte er de røde sidene samsvarende og de grønne sidene samsvarende.

Vi regner ut forholdet mellom lengdene av samsvarende sider:

$$ \frac{12}{4}=3 \frac{9}{3}=3 \frac{6}{2}=3$$

Vi sier at forholdet mellom sidene i den store trekanten og den lille trekanten er konstant lik $3$. Vi kaller dette tallet for forholdstallet. Legg merke til at forholdstallet alltid bare er er tall, det har ingen benevning.

Hva blir forholdstallet mellom den lille trekanten og den store trekanten?

1. Dersom to par av vinkler er like, er trekantene formlike.

Hvis vi kan vise at vinklene i to trekanter er parvis like store, har vi vist at trekantene er formlike. Det er nok å vite at to par av vinkler i to trekanter er like store. På grunn av setningen om at summen av vinklene i en trekant alltid er lik 180 grader, må nemlig også det tredje paret av vinkler være like store.

Vi skal se på bildet av to trekanter som begge har en stump vinkel på 180 grader. Vi ser at ett par av vinkler er like. Vi regner ut $$ \alpha $$ i den lille trekanten:

$$ \alpha =180°-108°-31°=41°$$

Vi har nå at to par av vinkler er like store, altså er de to trekantene formlike. Vi trenger ikke å regne ut den siste vinkelen for å vite dette.

2. Dersom forholdet mellom alle de samsvarende sidene er likt, er trekantene formlike.

Dette viste vi i eksempelet over, der vi regnet ut forholdstallet mellom alle sidene i trekantene.

3. Dersom ett par av vinkler er like og forholdet mellom sidene som utgjør vinkelbeina, er det samme, er de to trekantene formlike.

Vi skal vise at trekant $$ ABC$$ og trekant $$ DEF$$ på bildet er formlike. Vi ser at de to trekantene har ett par av like store vinkler. Vi sjekker om forholdet mellom de samsvarende vinkelbeina er likt:

$$ \begin{array}{l}\frac{DE}{AB}=\frac{8}{4}=2\\ \frac{DF}{AB}=\frac{12}{6}=2\end{array}$$

Siden vi nå har ett par av like vinkler og forholdet mellom de to sidene er likt, vet vi at de to trekantene er formlike.

4. Dersom forholdet mellom to par av samsvarende sider er det samme, og de motstående vinklene til de lengste av disse sidene er like store, er trekantene formlike.

Vi skal igjen vise at to trekanter er formlike, se bildet. Vi observerer at vinklene som står mot den lengste av sidene i de to trekantene, er like stor. Vi regner ut forholdet mellom de to sidene:

$$ $ \begin{array}{l}\frac{DE}{AB}=\frac{8}{4}=2\\ \frac{DF}{AB}=\frac{14.4}{7,2}=2\end{array}$$$

Igjen kan vi konkludere med at trekantene er formlike.

På oppgavesida om formlikhet (se under relatert innhold) skal du undersøke andre figurer enn trekanter også. Før du kommer så langt: Tenk gjennom om to firkanter med fire par av like store vinkler er formlike. Hva kan du si om sirkler og formlikhet?