Formlikhet

Trekantene har parvis like store vinkler og er dermed formlike.

Den siste vinkelen er  $$ 180°-45°-71,57°=63,43°$$.

Vi regner først ut forholdstallet når vi går fra $∆DEF$ til $∆ABC$.

$\frac{AB}{DE}=\frac{6,0}{8,0}=0,75$

Så kan vi finne lengden av $AC$.

$$ AC=10,0 \mathrm{cm}· 0,75=7,5 \mathrm{cm}$$

$$ EF=\frac{BC}{0,75}=\frac{6,3 \mathrm{cm}}{0,75}=\frac{6,3 \mathrm{cm}}{{\displaystyle \frac{3}{4}}}=\frac{\stackrel{2,1}{\cancel{6,3 }}\mathrm{cm}· 4}{\cancel{3}}=8,4 \mathrm{cm}$$

Trekantene $DEF$ og $GHF$ har felles vinkel $F$. De parallelle linjene $DE$ og $GH$ skjæres av linjene gjennom $DF$ og $EF$. Når to parallelle linjer skjæres av ei tredje linje, er de samsvarende vinklene like store, det vil si at vinkel $DEF$ = vinkel $GHF$ og så videre. Trekantene har dermed parvis like store vinkler og er da formlike.

Toppvinklene $ASB$ og $$ CSD$$ er like store. De parallelle linjene gjennom $$ A$$ og $$ B$$ og gjennom $$ C$$ og $$ D$$ skjæres av linjene gjennom $$ A$$ og $$ D$$ og gjennom $$ B$$ og $$ C$$. Når to parallelle linjer skjæres av ei tredje linje, er de samsvarende vinklene like store. Trekantene har dermed parvis like store vinkler og er da formlike.

$\begin{array}{rcl}\angle ACB& = & \angle DFE\\ & & \\ \angle ACB& =& 71,6°\\ & & \\ \angle CBA& =& \angle FEB=180°-45°-71,6°=63,4°\end{array}$

Trekanten dannet av bakken, staven og siktelinja er formlik med trekanten som dannes av bakken, treet og siktelinja. Trekantene har felles vinkel der siktelinja treffer bakken, og både staven og treet danner $90°$ med bakken.

$\begin{array}{rcl}\mathrm{Målestokk}& = & \frac{10,5}{0,5}=21\\ & & \\ 2,0 \mathrm{m}·21& =& 42 \mathrm{m}\end{array}$

Treet er 42 meter høyt.

Trekantene $BST$ og $B´ST´$ har felles vinkel $S$. Begge trekantene er rettvinklet. Trekantene har da parvis like store vinkler og er formlike.

$\angle PSQ=\angle RST$ fordi de er toppvinkler.

Linjene $PT$ og $RQ$ skjærer de parallelle linjene $PQ$ og $RT$, og vi har da at de samsvarende vinklene er like. For eksempel er $\angle SQP=\angle SRT$.

Trekantene har da parvis like store vinkler og er formlike. Da $\angle SQP=\angle SRT$, er sidene $PS$ og $ST$ tilsvarende sider fordi de er motstående sider til like store vinkler.

Forholdet mellom tilsvarende sider er konstant.

$\frac{PS}{ST}=\frac{PQ}{RT}\Rightarrow \frac{PS}{5 \mathrm{m}}=\frac{4 \mathrm{m}}{6 \mathrm{m}}\Rightarrow PS=5 \mathrm{m}·\frac{4}{6}=\frac{20 \mathrm{m}}{6}=3,3 \mathrm{m}$

$∆DCE$ og $∆BCA$ er formlike fordi vinkel $C$ er lik i de to trekantene (toppvinkler), og begge trekantene er rettvinklede. Forholdet mellom de tilsvarende sidene $CD$ og $BC$ blir

$$ \frac{200}{2,5}=80$$

$$ DE=AB·25=80·25=2 000$$

Avstanden $DE$ ut til Hatholmen er $$ 2 000$$ meter.

Se oppgave 2.2.6 for et hint om hvordan du kan gjøre det.

Vi har her to figurer som er satt sammen av et kvadrat og en halvsirkel. Alle kvadrater er formlike med hverandre, og det samme gjelder sirkler.

Vi observerer først at alle vinklene i de fem firkantene er rette. Det vil si at vi må se på forholdene mellom sidekantene.

Vi sjekker forholdene mellom sidekantene. Her er det viktig å være nøye på å alltid ha den lengste og den korteste sida på det samme stedet i brøken:

$$ \begin{array}{ccc}A:& \frac{3}{2}& \\ B:& \frac{6}{4}& =\frac{3}{2}\\ C:& \frac{7}{4}& \\ D:& \frac{4}{2}& =2\\ E:& \frac{8}{4}& =2\end{array}$$

Vi kan se at figur A og B er formlike, og det samme gjelder figur D og E.

For at to firkanter skal være formlike, må både alle par av samsvarende vinkler være like store og forholdet mellom alle sidene være like.

Vi ser på firkanten til høyre. Vi har at grunnlinja og topplinja er like lange, og at et par av motstående vinkler er like store. Da har vi å gjøre med et parallellogram, og vi kan finne de to andre vinklene:

$$ 180°-71,6°=108,4°$$

Tilsvarende kan vi se på firkanten til høyre at også den er et parallellogram, siden et par av motstående sider er like lange, og et par av motstående vinkler er like store. Dermed har vi at vinklene i firkanten er like store.

Vi ser nå på forholdet mellom de motstående sidene:

$$ \begin{array}{rcl}\frac{6}{3} & =& 2\\ \frac{3,2}{1,6} & =& 2\end{array}$$

Vi har altså to formlike firkanter.