a) $$\boxed{2}+4=6$$

b) $$\boxed{12}-4=8$$

c) $$4+\boxed{-1}-2=1$$

d) $$3-7+\boxed{14}=10$$

e) $$3-\boxed{-9}=12$$

a) $$2·\boxed{3}+2=8$$

b) $$3·\boxed{3}-3=6$$

c) $$7·\boxed{-1}-3=-10$$

d) $$6+3·\boxed{-2}=0$$

e) $$-3·\boxed{-1}-3=0$$

$$\[ \begin{array}{rcl}3x-1& =& 5\\ 3x-1+1& = & 5+1\\ 3x& =& 6\\ \frac{3x}{3}& =& \frac{6}{3}\\ x& =& 2\end{array} \]$$

$$\begin{array}{rcl}5x-3x& = & -2-2\\ & & \\ 2x& =& -4\\ & & \\ x& =& -\frac{4}{2}\\ & & \\ x& =& -2\end{array}$$

$$\begin{array}{rcl}5x+x& = & 11-5\\ & & \\ 6x& =& 6\\ & & \\ x& =& \frac{6}{6}\\ & & \\ x& =& 1\end{array}$$

$$\begin{array}{rcl}-3x-x& = & -4+4\\ & & \\ -4x& =& 0\\ & & \\ x& =& \frac{0}{-4}\\ & & \\ x& =& 0\end{array}$$

$$\begin{array}{rcl}x-x& = & 4+2\\ & & \\ 0x& =& 6 \\ & & \\ & & \mathrm{Ingen} \mathrm{løsning}\end{array}$$

$$\begin{array}{rcl}2x-4& = & 4x+8\\ & & \\ 2x-4x& =& 8+4\\ & & \\ -2x& =& 12\\ & & \\ x& =& \frac{12}{-2}\\ & & \\ x& =& -6\end{array}$$

• Flytt –4 fra venstre side av likhetstegnet over på høyre side og skift fortegn.
• Flytt $$\[ 4x \]$$ fra høyre side av likhetstegnet over på venstre side og skift fortegn.
• Trekk sammen leddene på venstre side og på høyre side.
• Divider på –2 på begge sider av likhetstegnet.
• Regn ut høyre side.

$$\begin{array}{rcl}2,5x-x& = & 1,5+3\\ & & \\ 1,5x& =& 4,5\\ & & \\ x& =& \frac{4,5}{1,5}\\ & & \\ x& =& 3,0\end{array}$$

$$\begin{array}{rcl}0,32x+1,18x& = & 1,58+1,42\\ & & \\ 1,50x& =& 3,00\\ & & \\ x& =& \frac{3,00}{1,50}\\ & & \\ x& =& 2,00\end{array}$$

$$\begin{array}{rcl}0,5x-1,5& = & 0,1x+0,1\\ & & \\ 0,5x-0,1x& =& 0,1+1,5\\ & & \\ 0,4x& =& 1,6\\ & & \\ x& =& \frac{1,6}{0,4}\\ & & \\ x& =& 4,0\end{array}$$

$$\begin{array}{rcl}-6+2t& = & -t+2\\ & & \\ 2t+t& =& 2+6\\ & & \\ 3t& =& 8\\ & & \\ t& =& \frac{8}{3}\end{array}$$

$$\begin{array}{rcl}-s+2-2s-2& = & 1-s\\ & & \\ -s-2s+s& =& 1-2+2\\ & & \\ -2s& =& 1\\ & & \\ s& =& \frac{1}{-2}\\ & & \\ s& =& -\frac{1}{2}\end{array}$$

• Flytt –2 og 2 fra venstre side av likhetstegnet over på høyre side, og skift fortegnene.
• Flytt $$\[ -s \]$$ fra høyre side av likhetstegnet over på venstre side og skift fortegn.
• Trekk sammen leddene på venstre side og på høyre side.
• Divider med –2 på begge sider.
• Flytt minustegnet foran brøken.

$$\begin{array}{rcl}6·\frac{1}{2}x-6·2& = & 6·\frac{1}{3}x-6·\frac{1}{6}\\ & & \\ 3x-12& =& 2x-1\\ & & \\ x& =& 11\end{array}$$

$$\begin{array}{rcl}6·\frac{x}{2}-6·2& = & 6·\frac{x}{3}-6·\frac{1}{6}\\ & & \\ 3x-12& =& 2x-1\\ & & \\ x& =& 11\end{array}$$

$$\begin{array}{rcl}x-\frac{3}{2}& = & -x-\frac{3}{2}\\ & & \\ 2·x-2·\frac{3}{2}& =& 2·\left(-x\right)-2·\frac{3}{2}\\ & & \\ 2x-3& =& -2x-3\\ & & \\ 4x& =& 0\\ & & \\ x& =& \frac{0}{4}\\ & & \\ x& =& 0\end{array}$$

$$\begin{array}{rcl}6·\frac{\left(x-2\right)}{2}& = & 6·\frac{\left(2-x\right)}{3}\\ & & \\ 3·\left(x-2\right)& =& 2·\left(2-x\right)\\ & & \\ 3x-6& =& 4-2x\\ & & \\ 5x& =& 10\\ & & \\ x& =& 2\end{array}$$

$$\begin{array}{rcl}12·\frac{\left(x-1\right)}{2}-12·3& = & 12·\frac{\left(3-2x\right)}{3}+12·\frac{x}{12}\\ & & \\ 6·\left(x-1\right)-36& =& 4·\left(3-2x\right)+x\\ & & \\ 6x-6-36& =& 12-8x+x\\ & & \\ 13x& =& 54\\ & & \\ x& =& \frac{54}{13}\end{array}$$

• Finn fellesnevneren, som er 12.
• Multipliser alle ledd med 12.
• Forkort bort nevnerene.
• Multipliser ut parentesene.
• Flytt –6 og –36 over på høyre side av likhetstegnet og skift fortegn på dei.
• Flytt $$\[ -8x \]$$ og $$\[ x \]$$ over på venstre side av likhetstegnet og skift fortegn på dem.
• Trekk sammen leddene på hver side av likhetstegnet.
• Divider med 13 på begge sider av likhetstegnet.

Merk at i løsningsforslaget på oppgave e) viser vi ikke alle trinnene i algoritmen. Finn ut hvilke trinn det er som ikke blir vist.

$$\begin{array}{rcl}\frac{3x}{2}-\frac{12}{3}& = & \frac{6}{4}-\frac{2x}{6}\\ & & \\ 9x-24& =& 9-2x\\ & & \\ 11x& =& 33\\ & & \\ x& =& 3\end{array}$$

$$\begin{array}{rcl}\frac{3s}{4}-\frac{3}{10}& = & 2s-\frac{2}{5}\\ & & \\ 15s-6& =& 40s-8\\ & & \\ -25s& =& -2\\ & & \\ s& =& \frac{2}{25}\end{array}$$

$$\begin{array}{rcl}\frac{3}{2}t-\frac{3}{2}-\frac{1}{2}+2t& = & 0\\ & & \\ 2·\frac{3}{2}t-2·\frac{3}{2}-2·\frac{1}{2}+2·2t& =& 2·0\\ & & \\ 3t-3-1+4t& =& 0\\ & & \\ 7t& =& 4\\ & & \\ t& =& \frac{4}{7}\end{array}$$

$$\begin{array}{rcl}\frac{1}{3}y-3y+3& = & \frac{1}{6}-\frac{1}{9}y+\frac{1}{9}\\ & & \\ 18·\frac{1}{3}y-18·3y+18·3& =& 18·\frac{1}{6}-18·\frac{1}{9}y+18·\frac{1}{9}\\ & & \\ 6y-54y+54& =& 3-2y+2\\ & & \\ -46y& =& -49\\ & & \\ y& =& \frac{-49}{-46}\\ & & \\ y& =& \frac{49}{46}\end{array}$$

Vi setter Øyvinds del lik $$x$$, og vi kan sette opp og løse likningen

$$\begin{array}{rcl}\frac{1}{3}+\frac{2}{5}+x& = & 1\\ & & \\ \stackrel{5}{\cancel{15}}·\frac{1}{\cancel{3}}+\stackrel{3}{\cancel{15}}·\frac{2}{\cancel{5}}+15·x& =& 15·1\\ & & \\ 5+6+15x& =& 15\\ & & \\ 15x& =& 15-11\\ & & \\ \frac{15x}{15}& =& \frac{4}{15}\\ & & \\ x& =& \frac{4}{15}\end{array}$$

Vi kan også løse likningen med CAS i GeoGebra.

Øyvind spiste $$\frac{4}{15}$$ av pizzaen.

Vi setter Anettes beløp lik $$x$$. Ellens blir da $$2x$$ og Kristins beløp blir $$2x-100$$. Da kan vi sette opp og løse likningen

$$\begin{array}{rcl}x+2x+(2x-100)& = & 1100\\ & & \\ 3x+2x-100& =& 1100\\ & & \\ 5x& =& 1100+100\\ & & \\ \frac{5x}{5}& =& \frac{1200}{5}\\ & & \\ x& =& 240\end{array}$$

Anette har $$240 \mathrm{kroner}$$, Ellen har $$2·240 \mathrm{kroner}=480 \mathrm{kroner}$$ og Kristin har $$480 \mathrm{kroner}-100 \mathrm{kroner}=380 \mathrm{kroner}$$.

Vi kan også løse likningen med CAS i GeoGebra, der vi i tillegg regner ut hvor mye de to andre har.

La $$x$$ være antall elever ved skolen. 60 % av elevene blir $$\frac{60}{100}x=\frac{3}{5}x$$. En tredel av elevene blir $$\frac{1}{3}x$$. Da kan vi sette opp og løse likningen

$$\begin{array}{rcl}\frac{3}{5}x+\frac{1}{3}x+12& = & x\\ & & \\ \stackrel{3}{\cancel{15}}·\frac{3}{\cancel{5}}x+\stackrel{5}{\cancel{15}}·\frac{1}{\cancel{3}}x+15·12& =& 15·x\\ & & \\ 9x+5x+180& =& 15x\\ & & \\ 180& =& 15x-14x\\ & & \\ 180& =& x\end{array}$$

Vi kan også løse likningen med CAS i GeoGebra.

Det er 180 elever ved skolen.

Vi setter Espens alder lik $$x$$. Påls alder blir da $$x+6$$ og Pers alder blir $$2x$$. Da kan vi sette opp og løse likningen

$$\begin{array}{rcl}x+(x+6)+2x& = & 66\\ & & \\ 4x& =& 60\\ & & \\ x& =& 15\end{array}$$

Vi kan også løse oppgaven med CAS i GeoGebra der vi både løser likningen og regner ut alderen til de to andre.

Espen er 15 år, Pål er 21 år og Per er 30 år.

La $$x$$ være alderen til Ari. Da er Anettes alder $$2x$$ og fars alder $$6x$$. Da kan vi sette opp og løse likningen

$$\begin{array}{rcl}x+2x+6x& = & 54\\ & & \\ 9x& =& 54\\ & & \\ x& =& 6\end{array}$$

Vi kan også løse oppgaven med CAS i GeoGebra.

Ari er 6 år, Anette 12 år og far 36 år.

La $$x$$ være alderen til Per. Da er fars alder $$3x$$ og bestefars alder $$6x$$. Da kan vi sette opp og løse likningen

$$\begin{array}{rcl}x+3x+6x& = & 120\\ & & \\ 10x& =& 120\\ & & \\ x& =& 12\end{array}$$

Vi kan også løse oppgaven med CAS i GeoGebra.

Per er 12 år, far er 36 år og bestefar er 72 år.

La $$x$$ være alderen til mor. Da er mormors alder $$2x$$. Da kan vi sette opp og løse likningen

$$\begin{array}{rcl}x+22& = & 2x\\ & & \\ -x& =& -22\\ & & \\ x& =& 22\end{array}$$

Vi kan også løse oppgaven med CAS i GeoGebra.

Mor er 22 år og mormor 44 år. Det hadde vi kanskje ikke trengt likning for å finne ut!

La $$x$$ være alderen til Camilla. Da er fars alder $$3x$$ og onkel Kåres $$3x-6$$. Da kan vi sette opp og løse likningen

$$\begin{array}{rcl}x+3x+(3x-6)& = & 92\\ & & \\ 4x+3x-6& =& 92\\ & & \\ 7x& =& 92+6\\ & & \\ \frac{7x}{7}& =& \frac{98}{7}\\ & & \\ x& =& 14\end{array}$$

Vi kan også løse oppgaven med CAS i GeoGebra.

Camilla er 14 år, far er 42 år og onkel Kåre er 36 år.

La $$x$$ være alderen til Maja. Da er mors alder $$x+21$$ og bestefars alder $$3(x+21)$$. I dag er de til sammen $$100 \mathrm{år}-3·2 \mathrm{år}=94 \mathrm{år}$$. Da kan vi sette opp og løse likningen

$$\begin{array}{rcl}x+(x+21)+3(x+21)& = & 94\\ & & \\ x+x+21+3x+63& =& 94\\ & & \\ 5x& =& 94-84\\ & & \\ \frac{5x}{5}& =& \frac{10}{5}\\ & & \\ x& =& 2\end{array}$$

Løst med CAS i GeoGebra kan det se slik ut:

Maja er 2 år, mor er 23 år og bestefar er 69 år.

a)

$$\begin{array}{rcl}{x}^2& = & 12-8\\ & & \\ x^2& =& 4\\ & & \\ x& =& \pm \sqrt{4}\\ & & \\ x& =& \pm 2\end{array}$$

b)

$$\begin{array}{rcl}4x^2& = & 70-6\\ & & \\ 4x^2& =& 64\\ & & \\ \frac{\cancel{4}{x}^2}{\cancel{4}}& =& \frac{64}{4}\\ & & \\ x^2& =& 16\\ & & \\ x& =& \pm \sqrt{16}\\ & & \\ x& =& \pm 4\end{array}$$

c)

$$\begin{array}{rcl}-x^2+2 & = & 2x^2-25\\ & & \\ 3x^2& =& 27\\ & & \\ x^2& =& 9\\ & & \\ x& =& \pm 3\end{array}$$