Likninger. Likninger løst ved regning
Introduksjon
Kjenner du igjen denne typen oppgaver fra barneskolen?
Da du fant ut hvilket tall som skulle stå i den tomme ruta, løste du egentlig en likning. Du fant ut hva som måtte stå der for at det skulle bli likt på begge sider av likhetstegnet.
Hva er en likning?
En likning består av et likhetstegn og et uttrykk på hver side av likhetstegnet.
En likning inneholder vanligvis en ukjent størrelse, ofte kalt .
De enkleste likningene: lineære likninger
De enkleste likningene er såkalte lineære likninger. I lineære likninger har vi aldri potenser av
Et eksempel på en lineær likning er
Å løse en likning går ut på å finne ut hvilken verdi
I den lineære likningen over kan vi se at om vi bytter ut
Da står tallet 5 på begge sider av likhetstegnet.
I de fleste likninger er det ikke så lett å se hvilket tall
Se for eksempel på likningen
Vi baserer løsningen av slike likninger på det at vi kan "tukle" med likningen så lenge vi gjør det samme på begge sider av likningen. Om vi for eksempel legger til eller trekker fra det samme tallet på begge sider av likhetstegnet, har uttrykkene på hver side fortsatt lik verdi.
Husk at
Vi trekker fra tallet 3 på begge sider av likhetstegnet:
Likningen blir nå
Vi trekker så fra tallet
På høyresida er
Da har vi jo funnet ut hva
Vi kan sjekke om løsningen er riktig. Da bytter vi ut
Vi ser at når
Noen ganger er vi ikke så heldige å få løsningen så enkelt som ovenfor. Vi kan for eksempel få
Hvis to uttrykk er like, må de fortsatt være like om vi deler begge på det samme tallet.
Vi deler på 3 på begge sider av likhetstegnet:
3 delt på 3 er lik 1, og venstresida blir da lik 1
Vi har dermed funnet løsningen.
Eksempel på enkel (lineær) likning
Vi tar med et eksempel til.
Løsning | Forklaring |
---|---|
| |
Vi trekker fra | |
Vi trekker sammen. | |
Vi dividerer med | |
Vi har funnet løsningen. |
Eksempel på likning med brøk
Noen likninger inneholder brøker. Når vi løser likninger med brøker, baserer vi oss på at hvis to uttrykk er like, må de fortsatt være like om vi multipliserer (ganger) begge med det samme tallet.
Løsning | Forklaring |
---|---|
Den minste fellesnevneren er 6. | |
Vi multipliserer hvert ledd med fellesnevneren og forkorter. | |
Etter forkorting er alle brøker borte. | |
Vi legger til | |
Vi har nå alle leddene som inneholder | |
Vi trekker sammen. | |
Vi dividerer med tallet før | |
Vi har funnet løsningen. |
Noen likninger inneholder også parentesuttrykk. Da starter vi med å gange ut disse parentesuttrykkene.
Eksempel 1 på likning med parentes
Eksempel 2 på likning med parentes
Løsninger med CAS
I CAS i GeoGebra kan vi løse likninger ved først å skrive inn likningen slik som den står og deretter bruke kommandoknappen
Eksempel
Løs likningen
Vi skriver inn likningen, trykker på knappen
Dersom vi ikke ønsker å ha svaret som en brøk, kan vi nå trykke direkte på knappen
Legg merke til at når du trykker på knappen
I stedet for å skrive inn likningen og bruke knappen
Løs(2x=2-x)
Prøv denne kommandoen!
Framgangsmåten for å løse en lineær likning
Når vi skal løse lineære likninger som de på siden her, kan vi bruke følgende algoritme:
- Hvis likningen inneholder parenteser, må vi først multiplisere (gange) ut disse parentesene.
- Hvis likningen inneholder brøker, må vi multiplisere med fellesnevneren på begge sider av likhetstegnet.
- Vi legger til eller trekker fra det samme tallet på begge sider av likhetstegnet slik at vi får samlet alle leddene som inneholder
på venstre side og alle leddene som bare består av tall på høyre side av likhetstegnet.x - Vi trekker sammen leddene.
- Til slutt dividerer vi med tallet foran
på begge sider av likhetstegnet.x
Potenslikninger
Vi må helt til slutt ta med en spesiell situasjon som kan inntreffe. Det hender at den ukjente er "opphøyd i andre potens". I stedet for
Når et tall er "opphøyd i andre potens", betyr det bare at tallet skal ganges med seg selv.
Når likningen inneholder
Eksempel
Det gjenstår nå bare å finne ut hva
Løsningen på likningen blir derfor at
Legg merke til at vi har to løsninger på likningen. Du er kanskje vant til å tenke at løsningen på denne likningen er kvadratrota av 9. Det er viktig å huske på at det bare er det positive tallet som opphøyd i andre er lik 9 som kalles for kvadratrota til 9. Kvadratrota til 9 er lik 3, og vi skriver
Svaret på likningen over kan da skrives
Prøv også å løse likningen med CAS i GeoGebra.