Oppgaver og aktiviteter

Gjennomsnittlig og momentan vekstfart

Her kan du jobbe med oppgaver om momentan og gjennomsnittlig vekstfart. Den første oppgaven skal løses for hånd, resten kan løses med hjelpemidler.

VF-1

a) Et pæretre ble 2,5 m høyere i løpet av 3 år.

Hvor stor var den gjennomsnittlige vekstfarten til treet i de 3 årene?

Løsning

Vi må regne ut hvor mange m høyere treet ble per år.

$\frac{∆ y}{∆ x} = \frac{2, 5 m}{3 år} = 0, 83 m / år$

Den gjennomsnittlige vekstfarten var 0,83 m/år.

b) Temperaturen sank 6 grader i løpet av 2 timer.

Hvor mye sank den i gjennomsnitt per time?

Løsning

Vi regner ut den gjennomsnittlige vekstfarten. Husk at $∆ y$ er negativ fordi temperaturen synker.

$\frac{∆ y}{∆ x} = \frac{- 6 °}{2 h} = - 3 ° / h$

Temperaturen sank i gjennomsnitt med 3 grader per time.

c) Under et kraftig snøvær økte snødybden fra 25 cm til 50 cm i løpet av 1,5 timer.

1) Hvor mye snødde det i gjennomsnitt per time?

Løsning

Vi regner ut den gjennomsnittlige vekstfarten til snødybden.

$\frac{∆ y}{∆ x} = \frac{y_{2} - y_{1}}{∆ x} = \frac{50 cm - 25 cm}{1, 5 h} = 16, 7 cm / h$

Det snødde i gjennomsnitt 16,7 cm per time.

2) Hva var snødybden etter den første halve timen av snøværet?

Løsning

Vi kan ikke vite eksakt hva snødybden var etter en halvtime. Vi kan finne en tilnærmet verdi ved hjelp av den gjennomsnittlige vekstfarten.

$25 cm + 0, 5 h \cdot 16, 7 cm / h = 33, 3 cm$

Snødybden var cirka 33 cm etter en halv time.

d) En dag med mye regn steg vannstanden i ei elv fra 1,34 m da klokka var 11.00, til 2,65 m klokka 15.00.

Hvor mye endret vannstanden seg i gjennomsnitt per minutt?

Løsning

Vi må regne ut den gjennomsnittlige vekstfarten til vannstanden. Vi begynner med å regne ut $∆ x$ , som skal måles i minutter.

$∆ x = 15 h - 11 h = 4 h = 4 \cdot 60 \min = 240 \min$

$\frac{∆ y}{∆ x} = \frac{y_{2} - y_{1}}{∆ x} = \frac{2, 65 m - 1, 34 m}{240 \min} = 0, 005 46 m / \min$

Siden tallet blir veldig lite, er det gunstig å skifte til cm per minutt eller mm per minutt. Vi velger cm per minutt:

$0, 005 46 m / \min = 0, 005 46 \cdot 100 cm / \min = 0, 55 cm / \min$

Vannstanden steg med 0,55 cm per minutt i gjennomsnitt.

e) Verdien til en bil sank fra 600 000 kroner da den var ny i 2016, til 200 000 kroner i 2020.

1) Hvor mye sank bilen i verdi i gjennomsnitt per år?

Løsning

Vi må regne ut den gjennomsnittlige vekstfarten til verdien på bilen.

$\frac{∆ y}{∆ x} = \frac{200 000 kr - 600 000 kr}{(2020 - 2016) år} = - 100 000 kr / år$

Bilen sank i verdi med 100 000 kroner per år i gjennomsnitt.

2) Hva var verdien på bilen ett år etter at den var ny?

Løsning

Igjen kan vi ikke vite eksakt hva verdien på bilen var etter ett år, men vi bruker den gjennomsnittlige vekstfarten til å finne en tilnærmet verdi.

$600 000 kr + 1 år \cdot (- 100 000 kr / år) = 500 000 kr$

Verdien på bilen etter ett år var cirka 500 000 kroner.

Kommentar: Nye biler synker mest i verdi det første året. Deretter synker verdien mindre og mindre for hvert år. Mest sannsynlig vil derfor verdien på bilen være noe mindre enn 500 000 kroner etter ett år.

VF-2

En funksjon $f$ er gitt ved $f (x) = x^{2} + 2$ .

a) Finn den gjennomsnittlige vekstfarten til $f$ når $x$ vokser fra 0,5 til 2 grafisk, ved regning for hånd og med CAS.

Løsning

Gjennomsnittlig vekstfart grafisk:

Vi skriver inn funksjonen $f$ og punktene $(0.5, f (0.5))$ og $(2, f (2))$ , kalt $A$ og $B$ på figuren nedenfor. Så bruker vi verktøyet "Linje" til å tegne linja mellom $A$ og $B$ og verktøyet "Stigning" til å finne stigningstallet til linja. (Vi kan også lese av stigningstallet til linja av formelen for linja.)

Illustrasjon av koordinatsystem. Grafen til funksjonen f av x er lik x i andre pluss 2 er tegnet for x-verdier mellom minus 0,5 og 2,5. Punktene A med koordinater 0,5 og f av 0,5 og B med koordinater 2 og f av 2 er tegnet inn. Den rette linja mellom punktene A og B er tegnet inn og har stigningstallet 2,5.

Vi får at den gjennomsnittlige vekstfarten er 2,5 når $x$ vokser fra 0,5 til 2.

Gjennomsnittlig vekstfart ved regning for hånd:

$\begin{array}{rcl} \frac{Δ y}{Δ x} & = & \frac{f (2) - f (0, 5)}{2 - 0, 5} \\ = & \frac{2^{2} + 2 - (0, 5^{2} + 2)}{2 - 0, 5} \\ = & \frac{6 - 2, 25}{1, 5} \\ = & 2, 5 \end{array}$

Gjennomsnittlig vekstfart med CAS:

Skjermutklipp av CAS-utregning med GeoGebra. På linje 1 er funksjonen f av x kolon er lik x i andre pluss 2 skrevet inn. På linje 2 er det skrevet parentes f av 2 minus f av 0,5 parentes slutt delt på parentes 2 minus 0,5 parentes slutt. Svaret med tilnærming er 2,5.

b) Finn den gjennomsnittlige vekstfarten til $f$ når $x$ vokser fra 0 til 1,5 grafisk, ved regning for hånd og med CAS.

Løsning

Gjennomsnittlig vekstfart grafisk:

Vi endrer på punktene $A$ og $B$ i forrige oppgave til $(0, f (0))$ og $(1.5, f (1.5))$ på figuren nedenfor.

Illustrasjon av koordinatsystem. Grafen til funksjonen f av x er lik x i andre pluss 2 er tegnet for x-verdier mellom minus 0,5 og 2. Punktene A med koordinater 0 og f av 0 og B med koordinater 1,5 og f av 1,5 er tegnet inn. Den rette linja mellom punktene A og B er tegnet inn og har stigningstallet 1,5.

Vi får at den gjennomsnittlige vekstfarten når $x$ vokser fra 0 til 1,5, er 1,5.

Gjennomsnittlig vekstfart ved regning for hånd:

$\begin{array}{rcl} \frac{Δ y}{Δ x} & = & \frac{f (1.5) - f (0)}{1.5 - 0} \\ = & \frac{1, 5^{2} + 2 - (0^{2} + 2)}{1, 5} \\ = & \frac{1, 5^{2}}{1, 5} \\ = & 1, 5 \end{array}$

Gjennomsnittlig vekstfart med CAS:

Skjermutklipp av CAS-utregning med GeoGebra. På linje 3 er det skrevet parentes f av 1,5 minus f av 0 parentes slutt delt på parentes 1,5 minus 0 parentes slutt. Svaret med tilnærming er 1,5.

c) Finn den momentane vekstfarten til funksjonen når $x = 1$ grafisk og med CAS.

Løsning

Momentan vekstfart grafisk:

Vi skriver inn punktet $(1, f (1))$ . Så bruker vi verktøyet "Tangenter" til å tegne tangenten i dette punktet. Til slutt bruker vi verktøyet "Stigning" til å finne stigningstallet til linja og dermed den momentane vekstfarten til grafen i dette tangeringspunktet.

Illustrasjon av koordinatsystem. Grafen til funksjonen f av x er lik x i andre pluss 2 er tegnet for x-verdier mellom minus 0,5 og 2. Punktet med koordinatene 1 og 3 ligger på grafen. Tangenten til grafen i dette punktet er tegnet inn. Tangenten har stigningstallet a er lik 2.

Den momentane vekstfarten til $f$ når $x = 1$ , er 2.

Momentan vekstfart med CAS:

Skjermutklipp av CAS-utregning med GeoGebra. På linje 4 er det skrevet Stigning parentes Tangent parentes 1 komma, f parentes slutt parentes slutt. Svaret er 2.

Den momentane vekstfarten til $f$ når $x = 1$ , er 2.

d) Finn den momentane vekstfarten til funksjonen når $x = - 1$ .

Løsning

Vi velger å bruke CAS.

Skjermutklipp av CAS-utregning med GeoGebra. På linje 5 er det skrevet Stigning parentes Tangent parentes minus 1 komma, f parentes slutt parentes slutt. Svaret er minus 2.

Den momentane vekstfarten til $f$ når $x = - 1$ , er $- 2$ .

VF-3

Funksjonene $g$ og $h$ er gitt ved funksjonsuttrykkene nedenfor. For hver av funksjonene skal du først tegne grafen. Deretter velger du fritt 2 punkter på grafen og regner ut den gjennomsnittlige vekstfarten mellom disse punktene.

a) $g (x) = 2 x + 4$

Løsning

Illustrasjon av koordinatsystem. Grafen til g av x er lik 2 x pluss 4 er tegnet for x-verdier mellom minus 4 og 4. To punkter er tegnet inn: Punkt A har koordinatene minus 2 og 0, mens punkt B har koordinatene 0 og 4.

Vekstfart $= \frac{4 - 0}{0 - (- 2)} = \frac{4}{2} = 2$ .

b) $h (x) = - x - 8$

Løsning

Illustrasjon av koordinatsystem. Grafen til h av x er lik minus x minus 8 er tegnet for x-verdier mellom minus 10 og 6. To punkter er tegnet inn: Punkt A har koordinatene minus 10 og 2, mens punkt B har koordinatene 0 og minus 8.

Vekstfart $= \frac{- 4 - 2}{- 4 - (- 10)} = \frac{- 6}{6} = - 1$ .

c) Kan du løse oppgave a) og b) uten å regne eller tegne graf? Forklar i tilfelle hvordan.

Løsning

Siden ei rett linje har samme stigning overalt, vil den gjennomsnittlige vekstfarten bli lik stigningstallet til linja uansett hvilke punkter vi bruker i utregningen.

d) Hva kan du si om den momentane vekstfarten til de to linjene?

Løsning

Den momentane vekstfarten til linjene må også være den samme overalt og lik stigningstallet til linjene siden vekstfarten er den samme overalt.

VF-4

Foto av et blomstrende morelltre. — Morelltre

Funksjonen

$h (x) = - 0, 003 x^{3} + 0, 09 x^{2} + 1$

viser høyden i meter til et morelltre de 20 første årene $x$ år etter at det ble plantet 1. mai 2002.

a) Finn grafisk hvor mye treet vokste i gjennomsnitt per år i perioden 1. mai 2010 til 1. mai 2015.

Løsning

Oppgaven spør etter gjennomsnittlig vekstfart for funksjonen mellom $x = 8$ og $x = 13$ . Vi skriver inn funksjonen $h$ i algebrafeltet ved hjelp av kommandoen "Funksjon", skriver inn punktene $(8, h (8))$ og $(13, h (13))$ og bruker verktøyet "Linje" til å tegne linja (sekanten) gjennom de to punktene.

Illustrasjon som viser et koordinatsystem der funksjonen h av x er lik minus 0 komma 003 x i tredje pluss 0 komma 0 9 x i andre pluss 1 er tegnet for x-verdier mellom 0 og 20. Punktet A med koordinatene 8 og 5,22 og punktet B med koordinatene 13 og 9,62 er tegnet inn. Linja gjennom de to punktene er tegnet og har likningen y er lik 0,88 x minus 1,81.

Vi ser grafisk (stigningstallet til sekanten $y$ ) at treet i gjennomsnitt vokste 88 cm per år i perioden 1. mai 2010 til 1. mai 2015.

Vi kunne også brukt verktøyet "Stigning" her.

b) Finn videre hvor mye treet vokste i gjennomsnitt per år i perioden 1. mai 2019 til 1. mai 2022.

Løsning

Vi skriver inn punktene $(17, h (17))$ og $(20, h (20))$ og bruker verktøyet "Linje" til å tegne linja (sekanten) gjennom de to punktene.

Vi ser grafisk (stigningstallet til sekanten $y$ ) at treet i gjennomsnitt vokste 24 cm per år i perioden fra 1. mai 2019 til 1. mai 2022.

c) Hvor mye vokste treet per år 1. mai 2012?

Løsning

Oppgaven spør etter den momentane vekstfarten til treet i 2012, som betyr at $x = 10$ . Vi velger å løse oppgaven med CAS.

Skjermutklipp av CAS-utregning med GeoGebra. På linje 1 er det skrevet Tangent parentes 10 komma, h parentes slutt. Svaret er y er lik 0,9.

Treet vokste med 90 cm per år 1. mai 2012.

Foto av kronhjort med tre hinder og en kalv.

VF-5

(Eksamen 1P våren 2013, omarbeidet)

Funksjonen $h$ gitt ved

$h (t) = 3, 25 t^{3} - 50 t^{2} + 170 t + 700$

var en god modell for hjortebestanden i en kommune i perioden 1990–2000. Ifølge modellen var det $h (t)$ hjorter i kommunen $t$ år etter 1. januar 1990.

a) Tegn grafen til $h$ for $0 \leq t \leq 10$ .

Løsning

Vi tegner grafen i GeoGebra ved hjelp av kommandoen "Funksjon(funksjon, start, slutt)".

Illustrasjon som viser et koordinatsystem der grafen til funksjonen h av t er lik 3 komma 25 t i tredje minus 50 t i andre pluss 170 t pluss 700 er tegnet.

b) Når var hjortebestanden størst, og hvor mange hjorter var det i kommunen da?

Løsning

Vi bruker kommandoen "Ekstremalpunkt" og finner toppunktet på grafen til $h$ .

Hjortebestanden var størst litt ut i 1992. Den var da på 867 dyr.

c) Løs likningen $h (t) = 850$ grafisk, og forklar hva løsningen forteller om hjortebestanden.

Løsning

Vi legger inn ei linje $y = 850$ i samme koordinatsystem som grafen til $h$ . Så finner vi skjæringspunktene mellom denne linja og grafen til $h$ ved å bruke kommandoen "Skjæring mellom to objekt".

Hjortebestanden er på 850 dyr 1,4 år og 2,9 år etter 1990, det vil si midt i 1991 og rett før årsskiftet 1992/1993.

d) Hvor stor var den gjennomsnittlige endringen i antall hjorter per år i perioden 1. januar 1994–1. januar 1998?

Løsning

Vi bruker CAS-verktøyet i GeoGebra og finner følgende:

Skjermutklipp av CAS-utregning med GeoGebra. På linje 1 er det skrevet parentes h av 8 minus h av 4 parentes slutt delt på parentes 8 minus 4 parentes slutt. Svaret med tilnærming er minus 66.

Vi finner at hjortebestanden synker i gjennomsnitt med 66 dyr hvert år i denne perioden.

e) Hvor stor var veksten per år i hjortebestanden 1. januar 1991?

Løsning

Oppgaven spør etter den momentane vekstfarten til funksjonen når $x = 1$ .

Skjermutklipp av CAS-utregning med GeoGebra. På linje 2 er det skrevet Stigning parentes Tangent parentes 1 komma, h parentes slutt parentes slutt. Svaret er 79,75.

Veksten i hjortebestanden i 1991 var på 80 dyr per år.

VF-6

Funksjonen $f$ er gitt ved

$f (x) = - 0, 5 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 3$

a) Finn den gjennomsnittlige vekstfarten når $x$ vokser fra 1 til 2.

Løsning

Vi skriver inn funksjonen og bruker uttrykket for stigningstallet til linja mellom de to punktene.

Skjermutklipp av CAS-utregning i GeoGebra. På linje 1 skriver vi inn funksjonen f av x kolon er lik minus 0,5 x i tredje pluss 3 x i andre minus 3 x pluss 3. På linje 2 er det skrevet parentes f av 2 minus f av 1 parentes slutt delt på parentes 2 minus 1 parentes slutt. Svaret med tilnærming er 2,5.

Den gjennomsnittlige vekstfarten når $x$ vokser fra 1 til 2, er 2,5.

b) Finn den gjennomsnittlige vekstfarten når $x$ vokser fra 1 til 1,1.

Løsning

Skjermutklipp av CAS-utregning med GeoGebra. På linje 3 er det skrevet parentes f av 1,1 minus f av 1 parentes slutt delt på parentes 1,1 minus 1 parentes slutt. Svaret med tilnærming er 1,65.

Den gjennomsnittlige vekstfarten når $x$ vokser fra 1 til 1,1, er 1,65.

c) Sammenlikn svarene i a) og b). Hvilket av disse svarene gir en mest korrekt verdi for den momentane vekstfarten når $x = 1$ ?

Løsning

Vi velger å tegne grafen til $f$ inkludert de to sekantene.

Illustrasjon som viser et koordinatsystem der grafen til funksjonen f av x er lik minus 0,5 x i tredje pluss 3 x i andre minus 3 x pluss 3 er tegnet for x-verdier mellom 0 og 2,2. Tre punkter på grafen er tegnet inn. Det første har koordinatene 1 og 2,5, det andre har koordinatene 1,1 og 2,66, og det tredje har koordinatene 2 og 5. Linja gjennom de to første punktene er tegnet inn og har likningen y er lik 1,65 x pluss 0,86. Linja gjennom det første og det tredje punktet er også tegnet inn. Likningen for denne linja er y er lik 2,5 x.

Figuren viser at vi får mest riktig verdi for vekstfarten når vi lar $x$ øke fra 1 til 1,1.

d) Vil det alltid være slik at vi får en bedre tilnærming til den momentane vekstfarten når avstanden ut til det andre punktet blir mindre?

Løsning

Det vil ikke alltid være slik. Studer figuren nedenfor der vi har tegnet en tredjegradsfunksjon $f$ .

Illustrasjon av koordinatsystem. En tilfeldig tredjegradsfunksjon er tegnet fra x er lik minus 2 til x er lik 7. To punkter A og B på grafen er tegnet inn. Tangenten t til grafen i punktet A er tegnet. I tillegg er sekanten s gjennom A og B tegnet inn.

Tangenten $t$ til grafen til funksjonen $f$ i punktet $A$ er tegnet inn. Stigningstallet til sekanten gjennom $A$ og $B$ er ikke en spesielt god tilnærming til den momentane vekstfarten til funksjonen i $A$ . Dersom vi flytter $B$ ut til $(7, f (7))$ , får vi en mye bedre tilnærming. Men flytter vi $B$ enda lenger ut, blir tilnærmingen dårligere igjen.

e) Finn til slutt den momentane vekstfarten til funksjonen når $x = 1$ .

Løsning

Den momentane vekstfarten til funksjonen når $x = 1$ , er 1,5.

VF-7

Forskere har undersøkt veksten til trær i et bestemt skogområde. Det viser seg at høyden til et tre, $h (t)$ , målt i meter tilnærmet kan beskrives med en matematisk modell. De første åtte årene gjelder funksjonen

$h (t) = 0, 02 t^{3} - 0, 25 t^{2} + 1, 15 t + 0, 15$

der $t$ er antall år etter utplanting.

a) Hvor mye vokste treet i gjennomsnitt fra år 1 til år 4?

Løsning

Vi må finne gjennomsnittlig vekstfart for funksjonen i intervallet $[1, 4]$ . Vi regner i CAS.

Skjermutklipp av utregning med CAS i GeoGebra. På linje 1 er funksjonen h av t kolon er lik 0,02 t i tredje minus 0,25 t i andre pluss 1,15 t pluss 0,15 skrevet inn. På linje 2 er det skrevet parentes h av 4 minus h av 1 parentes slutt delt på parentes 4 minus 1 parentes slutt. Svaret med tilnærming er 0,32.

Treet vokste i gjennomsnitt 32 cm per år fra år 1 til år 4.

b) Hvor stor var veksten til treet i år 4?

Løsning

Vi kan finne veksten til treet i år 4 på to måter.

Alternativ 1

Vi kan se på forskjellen i høyde mellom år 4 og år 5.

Skjermutklipp av CAS-utregning med GeoGebra. På linje 3 er h av 5 minus h av 4 regnet ut. Svaret er tilnærmet 0,12.

I år 4 vokste treet 12 cm.

Alternativ 2

Veksten det fjerde året er tilnærmet lik den momentane vekstfarten når $x = 4$ , som er et mål på veksten per år akkurat da.

Skjermutklipp av momentan vekstfart med CAS. På linje 3 er det skrevet Stigning parentes Tangent parentes 4 komma, h parentes slutt parentes slutt. Svaret med tilnærming er 0,11.

Vi får omtrent samme svar som i alternativ 1. I år 4 vokste treet 11 cm.

c) Skriv noen ord om hvordan høyden til treet forandrer seg fra år til år.

Løsning

Vi tegner grafen til funksjonen $h$ ved hjelp av kommandoen "Funksjon".

Illustrasjon av koordinatsystem der følgende graf er tegnet inn: h av t er lik 0 komma 0 2 t i tredje minus 0 komma 25 t i andre pluss 1 komma 15 t pluss 0 komma 15.

Ut fra grafen til høydefunksjonen kan vi lese følgende:
Treet vokser raskt de første to årene. De neste fire årene er veksten mindre. De siste to årene er veksten igjen mye større. Det ser ut til at veksten er veldig stor den første tida etter planting. Så avtar veksten gradvis fram mot år 4. Deretter øker veksten mer og mer.

CC BY-SASkrevet av Bjarne Skurdal, Olav Kristensen og Stein Aanensen.

Sist faglig oppdatert 08.03.2023

Gjennomsnittlig og momentan vekstfart

VF-1

VF-2

VF-3

VF-4

VF-5

VF-6

VF-7

Regler for bruk