Oppgaver og aktiviteter

Likninger

Oppgavene nedenfor kan løses uten bruk av hjelpemidler. Du kan også prøve å løse likningene med CAS i GeoGebra.

1.5.1

Sett inn riktig tall i hver av rutene

a) $? + 4 = 6$

b) $? - 4 = 8$

c) $4 + ? - 2 = 1$

d) $3 - 7 + ? = 10$

e) $3 - ? = 12$

Vis fasit

a) $2 + 4 = 6$

b) $12 - 4 = 8$

c) $4 + - 1 - 2 = 1$

d) $3 - 7 + 14 = 10$

e) $3 - - 9 = 12$

1.5.2

Sett inn riktig tall i hver av rutene

a) $2 \cdot ? + 2 = 8$

b) $3 \cdot ? - 3 = 6$

c) $7 \cdot ? - 3 = - 10$

d) $6 + 3 \cdot ? = 0$

e) $- 3 \cdot ? - 3 = 0$

Vis fasit

a) $2 \cdot 3 + 2 = 8$

b) $3 \cdot 3 - 3 = 6$

c) $7 \cdot - 1 - 3 = - 10$

d) $6 + 3 \cdot - 2 = 0$

e) $- 3 \cdot - 1 - 3 = 0$

1.5.3 Løs likningene.

Sjekk om du har regnet riktig ved å se om venstre side er lik høyre side når du setter løsningen din inn i den opprinnelige likningen.

a) $3 x - 1 = 5$

Vis fasit

$\begin{array}{rcl} 3 x - 1 & = & 5 \\ 3 x - 1 + 1 & = & 5 + 1 \\ 3 x & = & 6 \\ \frac{3 x}{3} & = & \frac{6}{3} \\ x & = & 2 \end{array}$

b) $5 x + 2 = 3 x - 2$

Vis fasit

$\begin{array}{rcl} 5 x - 3 x & = & - 2 - 2 \\ 2 x & = & - 4 \\ x & = & - \frac{4}{2} \\ x & = & - 2 \end{array}$

c) $5 x + 5 = - x + 11$

Vis fasit

$\begin{array}{rcl} 5 x + x & = & 11 - 5 \\ 6 x & = & 6 \\ x & = & \frac{6}{6} \\ x & = & 1 \end{array}$

d) $- 3 x - 4 = x - 4$

Vis fasit

$\begin{array}{rcl} - 3 x - x & = & - 4 + 4 \\ - 4 x & = & 0 \\ x & = & \frac{0}{- 4} \\ x & = & 0 \end{array}$

e) $x - 2 = 4 + x$

Vis fasit

$\begin{array}{rcl} x - x & = & 4 + 2 \\ 0 x & = & 6 \\ Ingen løsning \end{array}$

f) $2 (x - 2) = 4 x + 8$

Vis fasit

$\begin{array}{rcl} 2 x - 4 & = & 4 x + 8 \\ 2 x - 4 x & = & 8 + 4 \\ - 2 x & = & 12 \\ x & = & \frac{12}{- 2} \\ x & = & - 6 \end{array}$

g) Skriv med ord algoritmen for å løse likningen over.

Løsningsforslag

Flytt –4 fra venstre side av likhetstegnet over på høyre side og skift fortegn.
Flytt $4 x$ fra høyre side av likhetstegnet over på venstre side og skift fortegn.
Trekk sammen leddene på venstre side og på høyre side.
Divider på –2 på begge sider av likhetstegnet.
Regn ut høyre side.

1.5.4 Løs likningene

a) $2, 5 x - 3 = x + 1, 5$

Vis fasit

$\begin{array}{rcl} 2, 5 x - x & = & 1, 5 + 3 \\ 1, 5 x & = & 4, 5 \\ x & = & \frac{4, 5}{1, 5} \\ x & = & 3, 0 \end{array}$

b) $0, 32 x - 1, 42 = - 1, 18 x + 1, 58$

Vis fasit

$\begin{array}{rcl} 0, 32 x + 1, 18 x & = & 1, 58 + 1, 42 \\ 1, 50 x & = & 3, 00 \\ x & = & \frac{3, 00}{1, 50} \\ x & = & 2, 00 \end{array}$

c) $0, 5 (x - 3) = 0, 1 x + 0, 1$

Vis fasit

$\begin{array}{rcl} 0, 5 x - 1, 5 & = & 0, 1 x + 0, 1 \\ 0, 5 x - 0, 1 x & = & 0, 1 + 1, 5 \\ 0, 4 x & = & 1, 6 \\ x & = & \frac{1, 6}{0, 4} \\ x & = & 4, 0 \end{array}$

d) $- 2 (3 - t) = - t + 2$

Vis fasit

$\begin{array}{rcl} - 6 + 2 t & = & - t + 2 \\ 2 t + t & = & 2 + 6 \\ 3 t & = & 8 \\ t & = & \frac{8}{3} \end{array}$

e) $- (s - 2) - 2 (s + 1) = 1 - s$

Vis fasit

$\begin{array}{rcl} - s + 2 - 2 s - 2 & = & 1 - s \\ - s - 2 s + s & = & 1 - 2 + 2 \\ - 2 s & = & 1 \\ s & = & \frac{1}{- 2} \\ s & = & - \frac{1}{2} \end{array}$

f) Skriv med ord algoritmen for å løse likningen over.

Løsningsforslag

Flytt –2 og 2 fra venstre side av likhetstegnet over på høyre side, og skift fortegnene.
Flytt $- s$ fra høyre side av likhetstegnet over på venstre side og skift fortegn.
Trekk sammen leddene på venstre side og på høyre side.
Divider med –2 på begge sider.
Flytt minustegnet foran brøken.

1.5.5 Løs likningene

a) $\frac{1}{2} x - 2 = \frac{1}{3} x - \frac{1}{6}$

Vis fasit

$\begin{array}{rcl} 6 \cdot \frac{1}{2} x - 6 \cdot 2 & = & 6 \cdot \frac{1}{3} x - 6 \cdot \frac{1}{6} \\ 3 x - 12 & = & 2 x - 1 \\ x & = & 11 \end{array}$

b) $\frac{x}{2} - 2 = \frac{x}{3} - \frac{1}{6}$

Vis fasit

$\begin{array}{rcl} 6 \cdot \frac{x}{2} - 6 \cdot 2 & = & 6 \cdot \frac{x}{3} - 6 \cdot \frac{1}{6} \\ 3 x - 12 & = & 2 x - 1 \\ x & = & 11 \end{array}$

c) $\frac{1}{2} (2 x - 3) = - (x + \frac{3}{2})$

Vis fasit

$\begin{array}{rcl} x - \frac{3}{2} & = & - x - \frac{3}{2} \\ 2 \cdot x - 2 \cdot \frac{3}{2} & = & 2 \cdot (- x) - 2 \cdot \frac{3}{2} \\ 2 x - 3 & = & - 2 x - 3 \\ 4 x & = & 0 \\ x & = & \frac{0}{4} \\ x & = & 0 \end{array}$

d) $\frac{x - 2}{2} = \frac{2 - x}{3}$

Vis fasit

$\begin{array}{rcl} 6 \cdot \frac{(x - 2)}{2} & = & 6 \cdot \frac{(2 - x)}{3} \\ 3 \cdot (x - 2) & = & 2 \cdot (2 - x) \\ 3 x - 6 & = & 4 - 2 x \\ 5 x & = & 10 \\ x & = & 2 \end{array}$

e) $\frac{x - 1}{2} - 3 = \frac{3 - 2 x}{3} + \frac{x}{12}$

Vis fasit

$\begin{array}{rcl} 12 \cdot \frac{(x - 1)}{2} - 12 \cdot 3 & = & 12 \cdot \frac{(3 - 2 x)}{3} + 12 \cdot \frac{x}{12} \\ 6 \cdot (x - 1) - 36 & = & 4 \cdot (3 - 2 x) + x \\ 6 x - 6 - 36 & = & 12 - 8 x + x \\ 13 x & = & 54 \\ x & = & \frac{54}{13} \end{array}$

f) Skriv med ord algoritmen for å løse likningen over.

Løsningsforslag

Finn fellesnevneren, som er 12.
Multipliser alle ledd med 12.
Forkort bort nevnerene.
Multipliser ut parentesene.
Flytt –6 og –36 over på høyre side av likhetstegnet og skift fortegn på dei.
Flytt $- 8 x$ og $x$ over på venstre side av likhetstegnet og skift fortegn på dem.
Trekk sammen leddene på hver side av likhetstegnet.
Divider med 13 på begge sider av likhetstegnet.

Merk at i løsningsforslaget på oppgave e) viser vi ikke alle trinnene i algoritmen. Finn ut hvilke trinn det er som ikke blir vist.

g) Finnes det en generell algoritme for å løse likningene på denne siden, altså likninger av første grad? Skriv ned den!

1.5.6 Løs likningene

a) $3 (\frac{x}{2} - \frac{4}{3}) = (\frac{3}{4} - \frac{x}{6}) 2$

Vis fasit

$\begin{array}{rcl} \frac{3 x}{2} - \frac{12}{3} & = & \frac{6}{4} - \frac{2 x}{6} \\ 9 x - 24 & = & 9 - 2 x \\ 11 x & = & 33 \\ x & = & 3 \end{array}$

b) $3 (\frac{s}{4} - \frac{1}{10}) = (s - \frac{1}{5}) 2$

Vis fasit

$\begin{array}{rcl} \frac{3 s}{4} - \frac{3}{10} & = & 2 s - \frac{2}{5} \\ 15 s - 6 & = & 40 s - 8 \\ - 25 s & = & - 2 \\ s & = & \frac{2}{25} \end{array}$

c) $\frac{3}{2} (t - 1) - 2 (\frac{1}{4} - t) = 0$

Vis fasit

$\begin{array}{rcl} \frac{3}{2} t - \frac{3}{2} - \frac{1}{2} + 2 t & = & 0 \\ 2 \cdot \frac{3}{2} t - 2 \cdot \frac{3}{2} - 2 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot 2 t & = & 2 \cdot 0 \\ 3 t - 3 - 1 + 4 t & = & 0 \\ 7 t & = & 4 \\ t & = & \frac{4}{7} \end{array}$

d) $\frac{1}{3} y - 3 y + 3 = \frac{1}{6} - \frac{1}{9} y + \frac{1}{9}$

Vis fasit

$\begin{array}{rcl} \frac{1}{3} y - 3 y + 3 & = & \frac{1}{6} - \frac{1}{9} y + \frac{1}{9} \\ 18 \cdot \frac{1}{3} y - 18 \cdot 3 y + 18 \cdot 3 & = & 18 \cdot \frac{1}{6} - 18 \cdot \frac{1}{9} y + 18 \cdot \frac{1}{9} \\ 6 y - 54 y + 54 & = & 3 - 2 y + 2 \\ - 46 y & = & - 49 \\ y & = & \frac{- 49}{- 46} \\ y & = & \frac{49}{46} \end{array}$

1.5.7

Stian, Erik og Øyvind delte en pizza. Stian spiste en tredel, Erik spiste to femtedeler, og Øyvind spiste resten.

Sett opp en likning og finn ut hvor stor del av pizzaen Øyvind spiste.

Vis fasit

Vi setter Øyvinds del lik $x$ , og vi kan sette opp og løse likningen

$\begin{array}{rcl} \frac{1}{3} + \frac{2}{5} + x & = & 1 \\ \overset{5}{15} \cdot \frac{1}{3} + \overset{3}{15} \cdot \frac{2}{5} + 15 \cdot x & = & 15 \cdot 1 \\ 5 + 6 + 15 x & = & 15 \\ 15 x & = & 15 - 11 \\ \frac{15 x}{15} & = & \frac{4}{15} \\ x & = & \frac{4}{15} \end{array}$

Vi kan også løse likningen med CAS i GeoGebra.

Eksakt løsning med CAS av likningen en tredjedel pluss 2 femdeler pluss x er lik 1. CAS-utklipp.

Øyvind spiste $\frac{4}{15}$ av pizzaen.

1.5.8

Kristin, Anette og Ellen har til sammen 1100 kroner. Ellen har dobbelt så mange penger som Anette, og Kristin har 100 kroner mindre enn Ellen.

Sett opp en likning og finn ut hvor mange penger hver av de tre jentene har.

Vis fasit

Vi setter Anettes beløp lik $x$ . Ellens blir da $2 x$ og Kristins beløp blir $2 x - 100$ . Da kan vi sette opp og løse likningen

$\begin{array}{rcl} x + 2 x + (2 x - 100) & = & 1100 \\ 3 x + 2 x - 100 & = & 1100 \\ 5 x & = & 1100 + 100 \\ \frac{5 x}{5} & = & \frac{1200}{5} \\ x & = & 240 \end{array}$

Anette har $240 kroner$ , Ellen har $2 \cdot 240 kroner = 480 kroner$ og Kristin har $480 kroner - 100 kroner = 380 kroner$ .

Vi kan også løse likningen med CAS i GeoGebra, der vi i tillegg regner ut hvor mye de to andre har.

Eksakt løsning med CAS av likningen x pluss 2x pluss parentes 2x minus 100 parentes slutt er lik 1100. CAS-utklipp.

1.5.9

På en aktivitetsdag ved skolen valgte 60 % av elevene fotball. En tredel valgte volleyball. De siste 12 elevene hadde fått fritak.

Sett opp en likning og finn ut hvor mange elever det er ved skolen.

Vis fasit

La $x$ være antall elever ved skolen. 60 % av elevene blir $\frac{60}{100} x = \frac{3}{5} x$ . En tredel av elevene blir $\frac{1}{3} x$ . Da kan vi sette opp og løse likningen

$\begin{array}{rcl} \frac{3}{5} x + \frac{1}{3} x + 12 & = & x \\ \overset{3}{15} \cdot \frac{3}{5} x + \overset{5}{15} \cdot \frac{1}{3} x + 15 \cdot 12 & = & 15 \cdot x \\ 9 x + 5 x + 180 & = & 15 x \\ 180 & = & 15 x - 14 x \\ 180 & = & x \end{array}$

Vi kan også løse likningen med CAS i GeoGebra.

Eksakt løsning med CAS av likningen 3 femtedels x pluss en tredjedels x pluss 12 er lik x. CAS-utklipp.

Det er 180 elever ved skolen.

1.5.10

Per, Pål og Espen er til sammen 66 år. Per er dobbelt så gammel som Espen, og Pål er 6 år eldre enn Espen.

Sett opp en likning og finn ut hvor gamle de tre guttene er.

Vis fasit

Vi setter Espens alder lik $x$ . Påls alder blir da $x + 6$ og Pers alder blir $2 x$ . Da kan vi sette opp og løse likningen

$\begin{array}{rcl} x + (x + 6) + 2 x & = & 66 \\ 4 x & = & 60 \\ x & = & 15 \end{array}$

Vi kan også løse oppgaven med CAS i GeoGebra der vi både løser likningen og regner ut alderen til de to andre.

Eksakt løsning med CAS av likningen x pluss parentes x pluss 6 parentes slutt pluss 2 x er lik 66. CAS-utklipp.

Espen er 15 år, Pål er 21 år og Per er 30 år.

1.5.11

Ari, Anette og far er til sammen 54 år. Anette er dobbelt så gammel som Ari og far er tre ganger så gammel som Anette.

Sett opp en likning og finn ut hvor gamle Ari, Anette og far er.

Vis fasit

La $x$ være alderen til Ari. Da er Anettes alder $2 x$ og fars alder $6 x$ . Da kan vi sette opp og løse likningen

$\begin{array}{rcl} x + 2 x + 6 x & = & 54 \\ 9 x & = & 54 \\ x & = & 6 \end{array}$

Vi kan også løse oppgaven med CAS i GeoGebra.

Eksakt løsning med CAS av likningen x pluss 2 x pluss 6 x er lik 54. CAS-utklipp.

Ari er 6 år, Anette 12 år og far 36 år.

1.5.12

Far er tre ganger så gammel som Per og bestefar er dobbelt så gammel som far. Til sammen er de 120 år.

Sett opp en likning og finn ut hvor gamle Per, far og bestefar er.

Vis fasit

La $x$ være alderen til Per. Da er fars alder $3 x$ og bestefars alder $6 x$ . Da kan vi sette opp og løse likningen

$\begin{array}{rcl} x + 3 x + 6 x & = & 120 \\ 10 x & = & 120 \\ x & = & 12 \end{array}$

Vi kan også løse oppgaven med CAS i GeoGebra.

Eksakt løsning med CAS av likningen x pluss 3 x pluss 6 x er lik 120. CAS-utklipp.

Per er 12 år, far er 36 år og bestefar er 72 år.

1.5.13

Mormor var 22 år da mor ble født. I dag er hun dobbelt så gammel som mor. Sett opp en likning og finn ut hvor gamle mor og mormor er.

Vis fasit

La $x$ være alderen til mor. Da er mormors alder $2 x$ . Da kan vi sette opp og løse likningen

$\begin{array}{rcl} x + 22 & = & 2 x \\ - x & = & - 22 \\ x & = & 22 \end{array}$

Vi kan også løse oppgaven med CAS i GeoGebra.

Eksakt løsning med CAS av likningen x pluss 22 er lik 2 x. CAS-utklipp.

Mor er 22 år og mormor 44 år. Det hadde vi kanskje ikke trengt likning for å finne ut!

1.5.14

Far er tre ganger så gammel som Camilla. Far er seks år eldre enn onkel Kåre. Til sammen er de tre 92 år.

Sett opp en likning og finn ut hvor gamle Camilla, far og onkel Kåre er.

Vis fasit

La $x$ være alderen til Camilla. Da er fars alder $3 x$ og onkel Kåres $3 x - 6$ . Da kan vi sette opp og løse likningen

$\begin{array}{rcl} x + 3 x + (3 x - 6) & = & 92 \\ 4 x + 3 x - 6 & = & 92 \\ 7 x & = & 92 + 6 \\ \frac{7 x}{7} & = & \frac{98}{7} \\ x & = & 14 \end{array}$

Vi kan også løse oppgaven med CAS i GeoGebra.

Eksakt løsning med CAS av likningen x pluss 3 x pluss parentes 3 x minus 6 parentes slutt er lik 92. CAS-utklipp.

Camilla er 14 år, far er 42 år og onkel Kåre er 36 år.

1.5.15

Mor er 21 år eldre enn Maja. Bestefar er tre ganger så gammel som mor. Om to år er de til sammen 100 år.

Sett opp en likning og finn ut hvor gamle Maja, mor og bestefar er.

Vis fasit

La $x$ være alderen til Maja. Da er mors alder $x + 21$ og bestefars alder $3 (x + 21)$ . I dag er de til sammen $100 år - 3 \cdot 2 år = 94 år$ . Da kan vi sette opp og løse likningen

$\begin{array}{rcl} x + (x + 21) + 3 (x + 21) & = & 94 \\ x + x + 21 + 3 x + 63 & = & 94 \\ 5 x & = & 94 - 84 \\ \frac{5 x}{5} & = & \frac{10}{5} \\ x & = & 2 \end{array}$

Løst med CAS i GeoGebra kan det se slik ut:

Eksakt løsning med CAS av likningen x pluss parentes x pluss 21 parentes slutt pluss 3 multiplisert med parentes x pluss 21 parentes slutt er lik 94. CAS-utklipp.

Maja er 2 år, mor er 23 år og bestefar er 69 år.

1.5.16

Løs likningene

a) $x^{2} + 8 = 12$

b) $4 x^{2} + 6 = 70$

c) $- x^{2} + 2 = 2 x^{2} - 25$

Vis fasit

$\begin{array}{rcl} x^{2} & = & 12 - 8 \\ x^{2} & = & 4 \\ x & = & \pm \sqrt{4} \\ x & = & \pm 2 \end{array}$

$\begin{array}{rcl} 4 x^{2} & = & 70 - 6 \\ 4 x^{2} & = & 64 \\ \frac{4 x^{2}}{4} & = & \frac{64}{4} \\ x^{2} & = & 16 \\ x & = & \pm \sqrt{16} \\ x & = & \pm 4 \end{array}$

$\begin{array}{rcl} - x^{2} + 2 & = & 2 x^{2} - 25 \\ 3 x^{2} & = & 27 \\ x^{2} & = & 9 \\ x & = & \pm 3 \end{array}$

CC BY-SASkrevet av Stein Aanensen, Olav Kristensen og Bjarne Skurdal.

Sist faglig oppdatert 04.08.2021

Likninger

1.5.1

1.5.2

1.5.3 Løs likningene.

1.5.4 Løs likningene

1.5.5 Løs likningene

1.5.6 Løs likningene

1.5.7

1.5.8

1.5.9

1.5.10

1.5.11

1.5.12

1.5.13

1.5.14

1.5.15

1.5.16

Regler for bruk