Funksjoner og tre representasjoner av dem

a) Tegn og beskriv begrepene: koordinatsystem, $$$ x$$$-akse, $$$ y$$$-akse, koordinater og punkt.

b) Tegn et koordinatsystem. Sett navn på aksene. Tegn punktene (2,3) og (4,4). Trekk ei linje mellom punktene.

c) Samarbeidsoppgave: Den ene eleven lager et koordinatsystem, og den andre eleven bestemmer hvilke punkter den første eleven skal tegne i koordinatsystemet sitt. Klarer dere å lage figurer av punktene?

Dere trenger en taxi. Det koster 60 kroner for å bestille en taxi hjem til dere og så 14 kroner per kilometer. Den faste kostnaden er 60 kroner, og den variable kostnaden er 14 kroner. Siden vi ikke vet hvor mange kilometer taxien skal kjøre, bruker vi bokstaven $$\mathit{x}$$ for antall kilometer. Prisen for taxituren kaller vi $$$ P$$$. Hvor stor blir $$$ P$$$? Prisen er avhengig av hvor mange kilometer vi kjører, og vi skriver $$$ P\left(x\right)$$$.

$$$ P\left(x\right)=14·x+60$$$

a) Forklar med dine egne ord hva funksjonsuttrykket, $$$ P\left(x\right)$$$, viser.

b) Lag en verditabell for $$x$$-verdiene 10, 20, 30, 40 og 50.

c) Forklar hva verditabellen forteller deg.

Figuren ovenfor viser radien og arealet til tre sirkler.

a) Hvilken størrelse er det som bestemmer arealet til en sirkel?

b) Kan vi si at arealformelen for en sirkel $$A=\pi ·r^2$$ er en funksjon? Forklar i så fall hvorfor.

Tenk deg at du er på butikken og handler smågodt.

a) Skriv ned et funksjonsuttrykk som viser sammenhengen mellom pris $$P$$ og antall hg smågodt du kjøper. La prisen på smågodt være 9,90 per hg og $$x$$ hvor mange hg du kjøper.

b) Lag et nytt funksjonsuttrykk, $$$ Q\left(x\right)$$$, som viser hvor mye du betaler når du kjøper smågodt. Nå er prisen satt ned til 7,90 kr per hekto, men du må betale 5,00 kr for begeret som du fyller smågodtet i.

Du husker sikkert at formelen for areal av et kvadrat er

$$$ A=\mathrm{side}·\mathrm{side}=s^2$$$

a) Lag en tabell i et regneark der du finner arealet til kvadrater med sidelengder 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 og 16. Bruk kopiering og formel når du lager tabellen.

Nedenfor kan du se utregningene i et ekte regneark.

b) Kan du et navn på tallene som viser de ulike arealene?

En familie betalte 2 000 kroner i etableringsgebyr for å få tilgang til Kanal Hurra sine strømmetjenester. I tillegg betaler familien 210 kroner per måned for abonnementet og 70 kroner per måned for å leie en dekoder.

a) Hvor mye må familien betale for abonnementet det første året?

b) Forklar at utgiftene for abonnementet, $$$ U$$$, etter $$x$$ måneder kan uttrykkes som funksjonen $$$ U\left(x\right)$$$ gitt ved

$$$ U\left(x\right)=280·x+2 000$$$

c) Tegn grafen til $$U$$ i et koordinatsystem. Velg $$x$$-verdier mellom 0 og 36. Hvorfor velger vi å la $$x$$-aksen gå til 36?

Vis fasit

$$x$$-aksen viser måneder, og når den går til 36, får vi oversikt over tre år. I GeoGebra skriver vi

$$$ \text{U}\left(\text{x}\right)=\mathrm{Funksjon}(280\text{x}+2000, 0, 36)$$$

Kommandoen etter likhetstegnet kan vi lage kjapt ved å begynne å skrive ordet "Funksjon" og velge alternativet "Funksjon(<Funksjon>, <Start>,< Slutt>)" som dukker opp.

d) Bruk grafen til å finne ut hvor mye familien har betalt etter to års abonnement.

Du og familien din er på ferie og vil leie en bil. Dere tar en tur for å undersøke pris og får dette tilbudet: fastpris 650 kr og 6,20 kr per kilometer.

a) Bruk disse opplysningene til å skrive et funksjonsuttrykk, $$$ K\left(x\right)$$$, som kan brukes for å regne ut kostnadene ved å leie en bil.

b) Velg fem forskjellige turlengder, for eksempel 50 km, 100 km osv. Regn ut kostnadene for hver av dem, og sett opp tallene i en verditabell.

c) Bruk resultatene fra b) til å tegne en graf til $$K$$.

Vis fasit

Vi legger punktene inn i et koordinatsystem. Punktene ligger på ei rett linje. Det ser vi også når vi skriver inn funksjonsuttrykket og får tegnet grafen, som går gjennom alle punktene.

d) Bruk grafen, og finn ut hvor mye det koster å kjøre 18 mil.

I 2008 hadde Camilla et mobilabonnement. Hun betalte 99 kroner i fast pris per måned og 0,49 kroner per ringeminutt, $$t$$. Kostnadene, $$k$$, ved å bruke mobiltelefonen en måned kan vi skrive som

$$$ k\left(t\right)=0,49·t+99$$$

der $$t$$ varierer fra og med 50 til og med 200.

a) Lag en verditabell for $$$ k$$$.

b) Tegn grafen til $$$ k$$$.

Vis fasit

c) Finn grafisk hvor mange minutter Camilla har ringt når kostnadene er 160 kroner.

Temperatursvingningene gjennom et døgn er gitt ved funksjonen

$$T\left(x\right)=-0,005x^3+0,12x^2-2$$

der $$x$$ er antall timer etter midnatt.

a) Forklar at $$x$$ varierer fra og med 0 til og med 24.

b) Tegn grafen til funksjonen $$T$$.

Vis fasit

c) Bruk grafen, og finn når temperaturen er 6° C.

d) Hva er den laveste temperaturen, og hva er den høyeste temperaturen gjennom døgnet?

Verdens beste maratonløpere løper med tilnærmet konstant fart og bruker cirka 2 timer og 4 minutter på en maraton. En maratondistanse er 42 195 meter.

a) Hvor mange meter tilbakelegger disse løperne per minutt?

b) Lag en funksjon som viser sammenhengen mellom distansen, $$d$$, løperne tilbakelegger og tida, $$t$$.

c) Lag en verditabell for $$t=30, t=60, t=90$$ og $$t=120$$.

d) Tegn grafen, og finn ut hvilken distanse løperne har tilbakelagt når de har løpt i 45 minutt. Marker i koordinatsystemet.

Vis fasit

Vi bruker kommandoen "Funksjon" slik: $$$ \text{d(t) = Funksjon}(340\text{t,} 0,\; 1000)$$$. Vi skriver inn punktet $$$ (45, \text{d}(45\left)\right)$$$. Se punktet A på grafen. De har løpt 15 300 meter, det vil si 15,3 km, på 45 minutter.