Brøkregning

Vi deler en pizza i åtte like store deler. Hvert pizzastykke er da lik én åttendedel av hele pizzaen. Én åttendedel kan skrives som $1:8$.

Vi velger en annen skrivemåte som vi kaller brøk.

1 : 8 skriver vi som $\frac{1}{8}$. Divisjonstegnet (deletegnet) har blitt til brøkstrek, men betyr fortsatt divisjonstegn.

Tallet på topp, tallet over brøkstreken, kaller vi teller fordi det «teller opp» antall pizzastykker.

Tallet under brøkstreken forteller størrelsen, verdien, på pizzastykkene, og det kalles for nevner, på tilsvarende måte som kroner eller euro er benevninger på pengebeløp.

Hvis vi har $\frac{4}{5}$ av en pizza, betyr det at vi har delt en pizza i fem like store stykker og telt opp fire av disse.

Hva med $\frac{7}{3}$, da? Det må jo bety at vi har delt pizzaen i tre like store stykker og telt opp sju av disse. Er det mulig?

Ja, det er mulig, men da må vi ha mer enn én pizza!
Nedenfor ser du at vi må ha to hele pizzaer og et stykke utenom:

$\frac{7}{3}=2\frac{1}{3}$

De tre gule pizzastykkene på figuren, som utgjør $\frac{3}{8}$ av pizzaen, og det lyseblå stykket, som utgjør $\frac{1}{8}$ av pizzaen, må til sammen utgjøre fire åttendedeler av hele pizzaen.

Det må bety at $\frac{3}{8}+\frac{1}{8}=\frac{4}{8}$.

Motsatt, når vi fra fire åttendedeler trekker fra én åttendedel, så må vi sitte igjen med tre åttendedeler. Det betyr at $\frac{4}{8}-\frac{3}{8}=\frac{1}{8}$.

Dette betyr at regelen nedenfor må være riktig.

Fra figuren ser vi videre at det lyseblå og de gule pizzastykkene utgjør halve pizzaen.

Det må bety at $\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$. Det blir altså riktig om vi i brøken $\frac{4}{8}$ deler på 4 i teller og nevner. Vi får

$\frac{4:4}{8:4}=\frac{1}{2}$

Motsatt blir det også riktig når vi i brøken $\frac{1}{2}$ multipliserer (ganger) med 4 i teller og nevner. Dette gir

$\frac{1·4}{2·4}=\frac{4}{8}$

Vi kan nå legge sammen (addere) og trekke fra (subtrahere) alle slags brøker.

Vi skal trekke sammen brøkene

$\frac{1}{2}+3-\frac{2}{3}$

Først skriver vi tallet 3 som en brøk. Tallet 3 endrer ikke verdi om vi deler på 1.

$\frac{1}{2}+\frac{3}{1}-\frac{2}{3}$

Så utvider vi alle brøkene slik at de får like nevnere.

$\frac{1·3}{2·3}+\frac{3·6}{1·6}-\frac{2·2}{3·2}$

Vi multipliserer så ut i teller og nevner i alle brøkene og får

$\frac{3}{6}+\frac{18}{6}-\frac{4}{6}$

Nå har brøkene samme nevner, og vi kan trekke sammen tellerne og beholde nevneren.

$\frac{3+18-4}{6}=\frac{17}{6}$

Til slutt må vi undersøke om svaret kan skrives på en enklere måte ved å forkorte bøken $\frac{17}{6}$. Det er her ikke mulig siden ingen tall kan dele både 6 og 17. 17 er et primtall.

Fire pizzastykker som hver utgjør $\frac{1}{8}$ av hele pizzaen, utgjør til sammen $\frac{4}{8}$ av hele pizzaen fordi

$\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1+1+1+1}{8}=\frac{4}{8}$

Det må bety at $4·\frac{1}{8}=\frac{4}{8}$. Når vi multipliserer et helt tall med en brøk, så må vi altså multiplisere det hele tallet med telleren for at det skal bli riktig.

$4·\frac{1}{8}=\frac{4·1}{8}=\frac{4}{8}$

Siden det hele tallet også kan skrives som en brøk, får vi at

$\frac{4}{1}·\frac{1}{8}=\frac{4·1}{1·8}=\frac{4}{8}$

Vi får riktig svar når vi multipliserer teller med teller og nevner med nevner.

Vi ser også at hvis vi tar halvparten av et pizzastykke som utgjør én tredjedel av en hel pizza, så må vi få én sjettedel av hele pizzaen. Det må bety at regnestykket nedenfor må være riktig.

$\frac{1}{2}·\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$

Det betyr at det også her blir riktig når vi multipliserer teller med teller og nevner med nevner.

Regelen blir som følger:

Eksempel 1

$\frac{6}{8}·\frac{5}{7}=\frac{6·5}{8·7}=\frac{30}{56}=\frac{30:2}{56:2}=\frac{15}{28}$ Husk å forkorte svaret!

Eksempel 2

$7·\frac{2}{3}=\frac{7}{1}·\frac{2}{3}=\frac{7·2}{1·3}=\frac{14}{3}$ Her kan vi ikke forkorte svaret.

Kari har 6 liter rødbrus i en stor beholder og skal fordele brusen i tolitersflasker. Hvor mange flasker trenger hun?

Regnestykket blir $6:2=3$ Hun trenger 3 flasker.

Men hvis hun skal fordele brusen i halvlitersflasker, hvor mange flasker trenger hun da?

Vi skjønner at svaret må bli 12 flasker.

Hvis vi skal regne på samme måte som ovenfor, er altså $6:\frac{1}{2}=12$.

Å dividere med $\frac{1}{2}$ er altså det samme som å multiplisere med 2.

Vi kan skrive regnestykket slik:

$6:\frac{1}{2}=\frac{6}{1}:\frac{1}{2}=\frac{6}{1}·\frac{2}{1}=\frac{12}{1}=12$

Vi ser altså at når vi skal dividere med en brøk, må vi multiplisere med den omvendte brøken for å få riktig resultat.

Eksempel

$\frac{\frac{7}{2}}{\frac{3}{5}}=\frac{7}{2}:\frac{3}{5}=\frac{7}{2}·\frac{5}{3}=\frac{35}{6}$

Som eksempelet over viser, kan vi oppfatte divisjonstegnet som en brøkstrek.

Da kan vi skrive divisjonen $\frac{4}{5}:\frac{6}{15}$ slik:

$\frac{4}{5}:\frac{6}{15}=\frac{\frac{4}{5}}{\frac{6}{15}}$

En slik brøk, som består av brøker i teller og nevner, kalles en brudden brøk. Vi skiller mellom hovedbrøken og småbrøkene.

Småbrøkene $\frac{4}{5}$ og $\frac{6}{15}$ er brøkene i teller og nevner i hovedbrøken. La oss regne ut stykket ved å bruke regnereglene for divisjon av brøker.

$\frac{4}{5}:\frac{6}{15}=\frac{4}{5}·\frac{15}{6}=\frac{4·{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{15}}}}{\cancel{5}·6}=\frac{4·3}{6}=\frac{12}{6}=2$

Vi kan forenkle en brudden brøk ved å utvide hovedbrøken med fellesnevneren til småbrøkene.

$\frac{\frac{4}{5}}{\frac{6}{15}}=\frac{\frac{4}{5}·15}{\frac{6}{15}·15}=\frac{\frac{4}{\cancel{5}}·\stackrel{3}{\cancel{15}}}{\frac{6}{\cancel{15}}·\cancel{15}}=\frac{12}{6}=2$

Vi ser at vi får samme resultat som ovenfor.