Vekstfaktor og prosentvis endring

Et typisk eksempel på prosentvis vekst er en vare som stiger eller synker i pris med en viss prosent.

Prosentvis økning

En jakke koster 800 kroner. Prisen skal stige med 15 %. Hva blir den nye prisen på jakken?

Vi kan løse denne oppgaven ved å først å bruke prosentfaktoren til 15 %, regne ut hvor mye 15 % av 800 kroner er, og til slutt legge svaret til 800 kroner.

$$ \begin{array}{rcl}800 \mathrm{kr}+800 \mathrm{kr}·0,15 & =& 800 \mathrm{kr}+120 \mathrm{kr}\\ & =& 920 \mathrm{kr}\end{array}$$

Vi regner prosenten av 800 kroner, så det er det tallet som er 100 %, eller det vi kaller grunnlaget. Pristillegget på 120 kroner tilsvarer 15 %. Siden den nye prisen skal være den gamle prisen pluss 15 %, blir den nye prisen 115 %:

$$ \begin{array}{rcl}800 \mathrm{kr}+120 \mathrm{kr} & =& 920 \mathrm{kr}\\ 100 \% + 15 \% & =& 115 \%\end{array}$$

Det betyr at vi kan finne den nye prisen ved å finne 115 % av 800 kroner. Prosentfaktoren til 115 % kaller vi her vekstfaktoren til en økning på 15 %. Vekstfaktoren er

$$ 115 \%=1,15$$

Den nye prisen blir

$$ 800 \mathrm{kr}·1,15=920 \mathrm{kr}$$

Prosentvis nedgang

En jakke koster 800 kroner. Jakken skal nå selges på tilbud med 15 % rabatt. Hva blir den nye prisen på jakken?

Vi gjør tilsvarende som i det forrige eksempelet. Den opprinnelige prisen på 800 kroner er fortsatt 100 %. For å komme fram til den nye prisen skal det trekkes fra 15 %, så den nye prisen tilsvarer

$$ 100 \%-15 \%=85 \%$$

Prosentfaktoren til 85 % er 0,85. Det betyr at vekstfaktoren til en nedgang på 15 % er 0,85. Den nye prisen blir

$$ 800 \mathrm{kr}·0,85=680 \mathrm{kr}$$

Finne endringen i prosent ut fra ny pris og gammel pris

Vi tar utgangspunkt i det andre eksempelet. Jakken, som tidligere kostet 800 kroner, selges nå til 680 kroner. Hvor stort er avslaget i prosent?

Vi løser dette ved å finne ut hvor mange prosent den nye prisen er av den gamle. Det gjør vi ved å dele den nye prisen på den gamle, siden det er den gamle (opprinnelige) prisen som er det vi kaller grunnlaget som prosenten skal regnes av.

$$ \frac{680 \mathrm{kr}}{800 \mathrm{kr}}=0,85=85 \%$$

Siden den nye prisen er 85 % av den gamle, har prisen blitt redusert med $$ 100 \%-85 \%=15 \%$$.

Prosentvis vekst i flere omganger

Vi tenker oss nå at prisen på jakken, som opprinnelig koster 800 kroner, skal stige i pris med 15 % hvert år framover i 5 år. Hva koster jakken etter 5 år med prisstigning?

🤔 Tenk over: Vi fant i det første eksempelet at vekstfaktoren ved 15 % stigning er 1,15. Hva blir vekstfaktoren for prisstigningen mellom det andre og det tredje året?

Det betyr at vi kan starte med 800 kroner, gange med 1,15 for å finne prisen det andre året, gange på nytt med 1,15 for å finne prisen det tredje året og fortsette slik til vi kommer til det femte året:

$$ \underset{\mathrm{Pris} \mathrm{etter} 5 \mathrm{år}}{\underbrace{\underset{\mathrm{Pris} \mathrm{etter} 4 \mathrm{år}}{\underbrace{\underset{\mathrm{Pris} \mathrm{etter} 3 \mathrm{år}}{\underbrace{\underset{\mathrm{Pris} \mathrm{etter} 2 \mathrm{år}}{\underbrace{\underset{\mathrm{Pris} \mathrm{etter} 1 \mathrm{år}}{\underbrace{800 \mathrm{kr}·1,15}}·1,15}}·1,15}}·1,15}}·1,15}}$$

Resultatet er at vi må gange 800 kroner med 1,15 totalt 5 ganger.

$$ \begin{array}{rcl}800 \mathrm{kr}·1,15·1,15·1,15·1,15·1,15 & =& 800 \mathrm{kr}·1,{15}^5\\ & =& 1 609,09 \mathrm{kr}\end{array}$$

Legg merke til at når vi skal gange med 1,15 fem ganger, kan vi skrive dette som en potens: $$ 1,{15}^5$$, som vi leser som "1,15 opphøyd i femte". Dette kan vi slå inn direkte på en kalkulator som har potensfunksjon.

Tilsvarende, dersom vi har prisen 1 609,09 kroner etter 5 prisoppganger på 15 %, kan vi regne oss tilbake til den opprinnelige prisen på 800 kroner ved å gjøre det motsatte, dele på vekstfaktoren opphøyd i 5:

$$ \frac{1 609,09 \mathrm{kr}}{1,{15}^5}=800 \mathrm{kr}$$

Vi kan generelt si at vi ganger med vekstfaktoren når vi går framover i tid og deler når vi går tilbake i tid.

I oppgave 6 på oppgavesiden "Vekstfaktor og prosentvis endring" kan du se hvordan du bruker vekstfaktor når veksten ikke er lik i alle periodene.

Vi tar igjen utgangspunktet i jakka som koster 800 kroner der prisen skal stige med 15 %. Vi fant ut at vekstfaktoren når noe skal stige med 15 %, er 1,15. Vi ønsker nå å finne en formel for vekstfaktoren når noe skal stige med p prosent. Vi kan skrive vekstfaktoren 1,15 som

$$ 1,15=\frac{115}{100}=\frac{100+15}{100}=\frac{100}{100}+\frac{15}{100}=1+\frac{15}{100}$$

Vi kan derfor regne ut vekstfaktoren når noe skal øke med p prosent, som

$$ 1+\frac{p}{100}$$

En alternativ måte å komme fram til formelen på er å sette opp utregningen for den nye prisen på jakken og vise at vi må gange den gamle prisen med uttrykket $$ 1+\frac{15}{100}$$ for å få den nye:

$$ 800+0,15·800=800\left(1+0,15\right)=800\left(1+\frac{15}{100}\right)$$

🤔 Tenk over: Hvordan tror du formelen for vekstfaktoren ser ut dersom noe skal synke med p prosent?

Du kan velge om du vil bruke formlene eller gjøre slik som i de andre eksemplene over når du skal finne vekstfaktoren. Formlene kan være nyttige i noen sammenhenger, for eksempel dersom du skal lage et program som skal regne med prosent.