Fagartikkel

Likningen til ei rett linje

Vi kan bestemme likningen til ei rett linje, eller funksjonsuttrykket til en lineær funksjon, på flere måter.

Ved å lese av grafen

I et koordinatsystem der x-aksen går fra minus 2 til 4 og y-aksen går fra minus 3 til 6 er det tegnet ei rett linje. Linja går gjennom punktet med koordinatene 0 og minus 1, punktet med koordinatene 1 og 1, punktet med koordinatene 2 og 3 og punktet med koordinatene 3 og 5. Det er tegnet ei pil fra det første punktet med koordinatene 0 og minus 1 til punktet med koordinatene minus 1 og minus 1. Pila har tilhørende tekst 1 til høyre. Fra punktet med koordinatene minus 1 og minus 1 er det tegnet ei pil til punktet med koordinatene 1 og 1 på linja. Pila har tilhørende tekst 2 opp. Det er tegnet ei pil fra punktet med koordinatene 2 og 3 til punktet med koordinatene 3 og 3. Pila har tilhørende tekst 1 til høyre. Fra punktet med koordinatene 3 og 3 er det tegnet ei pil til punktet med koordinatene 3 og 5 på linja. Pila har tilhørende tekst 2 opp. Illustrasjon.

I koordinatsystemet har vi tegnet grafen til en lineær funksjon. Grafen skjærer y-aksen i punktet $(0, - 1)$ . Det betyr at konstantleddet $b = - 1$ . (Husk at du alltid finner konstantleddet ved å se hvor grafen skjærer y-aksen.) Når vi går en enhet til høyre fra $(0, - 1)$ , må vi gå to enheter opp på y-aksen for å treffe grafen. Det betyr at stigningstallet $a = 2$ . Funksjonsuttrykket blir derfor $f (x) = 2 x - 1$ .

Legg merke til at vi like gjerne kan ta utgangspunkt i et annet punkt på grafen for å finne stigningstallet. Vi ser av grafen at vi får samme resultat om vi tar utgangspunkt i punktet (2, 3).

Ved regning med det generelle uttrykket for ei rett linje

Vi ser på et eksempel der vi skal finne funksjonsuttrykket til ei linje som går gjennom punktet (2, 3) og har stigningstall lik 3. Vi har at det generelle uttrykket for ei rett linje er $y = a x + b$ . Vi setter inn stigningstallet og vet at likningen skal se slik ut:

$y = 3 x + b$

Vi kan nå sette punktet (2, 3) inn for x og y:

$\begin{array}{rcl} 3 & = & 3 \cdot 2 + b \\ 3 & = & 6 + b \\ b & = & - 3 \end{array}$

Vi har nå funnet konstantleddet og har fått følgende funksjonsuttrykk:

$f (x) = 3 x - 3$

Ved hjelp av ettpunktsformelen

I et koordinatsystem uten enheter på aksene er det tegnet ei rett linje. Linja går gjennom punktet med koordinatene x 1 og y 1 og punktet med koordinatene x og y. Det er tegnet ei vannrett pil mot høyre fra det første punktet med koordinatene x 1 og y 1 til punktet med koordinatene x og y 1. Pila har tilhørende tekst delta x er lik x minus x 1. Fra punktet med koordinatene x og y 1 er det tegnet ei loddrett pil til punktet med koordinatene x og y på linja. Pila har tilhørende tekst delta y er lik y minus y 1. Illustrasjon.

Vi kan gå rett på å finne likningen for ei rett linje ved hjelp av det vi kaller ettpunktsformelen.

Vi antar at vi kjenner ett punkt på ei rett linje, og i tillegg kjenner vi stigningstallet til linja. Vi kaller det kjente punktet for $(x_{1}, y_{1})$ og det kjente stigningstallet a.

Vi ønsker å finne likningen for linja.

La $(x, y)$ være et vilkårlig punkt på linja. Da er stigningstallet

$\begin{array}{rcl} a & = & \frac{Δ y}{Δ x} = \frac{y - y_{1}}{x - x_{1}} \end{array}$

Vi multipliserer med nevneren $(x - x_{1})$ på begge sider av likhetstegnet og får

$a (x - x_{1}) = y - y_{1}$

Dette kan vi snu på og får da

$y - y_{1} = a (x - x_{1})$

Denne formelen kalles ettpunktsformelen for den rette linja.

Eksempel

Vi kan bruke denne formelen til å finne funksjonsuttrykket til ei linje som går gjennom punktene (2, 4) og (4, 8).

Vi trenger å kjenne stigningstallet til linja for å bruke ettpunktsformelen, så vi regner ut det først:

$\begin{array}{rcl} a & = & \frac{Δ y}{Δ x} = \frac{8 - 4}{4 - 2} = \frac{4}{2} = 2 \end{array}$

Nå velger vi ett av punktene vi har fått oppgitt. Vi velger (2, 4) og setter det inn i ettpunktsformelen sammen med stigningstallet:

$\begin{array}{rcl} y - y_{1} & = & a (x - x_{1}) \\ y - 4 & = & 2 (x - 2) \\ y & = & 2 x - 4 + 4 \\ y & = & 2 x \end{array}$

Funksjonsuttrykket for linja som går gjennom punktene (2, 4) og (4, 8), er altså $f (x) = 2 x$ .

Videoer om å finne funksjonsuttrykket til en lineær funksjon

Ut fra grafen

Beklager, en feil oppstod ved lasting av video. Prøv å laste inn siden på nytt.

Ved hjelp av generell formel for linja

Beklager, en feil oppstod ved lasting av video. Prøv å laste inn siden på nytt.

Ved ettpunktsformelen

Beklager, en feil oppstod ved lasting av video. Prøv å laste inn siden på nytt.

Ved å lese av grafen

Ved regning med det generelle uttrykket for ei rett linje

Ved hjelp av ettpunktsformelen

Eksempel

Videoer om å finne funksjonsuttrykket til en lineær funksjon

Ut fra grafen

Ved hjelp av generell formel for linja

Ved ettpunktsformelen

Regler for bruk av teksten "Likningen til ei rett linje"