Oppgaver og aktiviteter

Polynomfunksjonen som modell

Øv på å bruke regresjon i disse oppgavene.

3.3.30

a) Bruk verktøyet "Mangekant" i GeoGebra til å tegne sju ulike rektangler. Alle rektanglene skal ha en omkrets på 24 cm. La $x$ -verdien være bredden på rektangelet. Velger du for eksempel at bredden $x$ skal være 4 cm, blir høyden 8 cm.

Tips til oppgaven

Lag en funksjon for høyden av et rektangel med omkrets 24 cm og bredde $x$ cm. Lag en verditabell for denne funksjonen.

Løsning

Vi kaller høyden i rektangelet for $h$ . Når bredden er $x$ , har vi at

$\begin{array}{rcl} 2 x + 2 h & = & 24 \\ 2 h & = & 24 - 2 x \\ \frac{2 h}{2} & = & \frac{24 - 2 x}{2} \\ h & = & 12 - x \end{array}$

Vi får funksjonen $h (x) = 12 - x$ . Vi lager deretter en verditabell.

$x$	2	4	5	6	7	9	11
$h (x)$	10	8	7	6	5	3	1

Så tegner vi rektanglene.

Sju rektangler med omkrets og areal skrevet inn. Alle rektanglene har omkrets 24. Bredden og høyden til hvert rektangel ser ut til å være som i verditabellen i oppgaven. Arealene er 20, 32, 35, 36, 35, 27 og 11. Illustrasjon.

b) Bruk verktøyet "Avstand eller lengde" (som ligger under knappen "Vinkel" på verktøyraden i GeoGebra) til å måle omkretsen av rektanglene. Bruk deretter verktøyet "Areal" til å måle arealet av rektanglene.

Løsning

Etter å ha valgt ett av verktøyene trykker du på ett av rektanglene, og enten kommer arealet eller omkretsen av rektangelet opp som en tekstboks. Se figuren i forrige oppgave.

c) Bruk regnearkdelen i GeoGebra, og skriv inn breddene på rektanglene i én kolonne og arealene av rektanglene i en annen. Marker tallene, og bruk verktøyet "Regresjonsanalyse". Får du fram tallene som punkter i et koordinatsystem? Vi tenker oss en kurve gjennom punktene. Hva slags kurve likner dette på?

Løsning

Vi lager først en tabell over tallene vi skal bruke.

x	2	4	5	6	7	9	11
Areal	20	32	35	36	35	27	11

Vi legger tallene fra tabellen inn i regnearkdelen i GeoGebra og bruker verktøyet "Regresjonsanalyse". Da skal vi få fram et koordinatsystem med punktene som vist nedenfor.

Til venstre i figuren er tallene fra tabellen i oppgaven lagt inn i to kolonner i regnearkdelen av programmet GeoGebra. Til høyre vises regresjonsverktøyet med et koordinatsystem med punkter tegnet etter tallene i regnearkdelen. Skjermutklipp. — Regresjonsverktøyet i GeoGebra før regresjonsmodell er valgt

Det ser ut som om punktene ligger langs en parabel, det vil si en andregradsfunksjon.

d) Bruk regresjon og finn det andregradsuttrykket som passer best til punktene i tabellen. Tegn grafen til andregradsuttrykket. La $A$ være arealet av rektangelet og $x$ være bredden på rektangelet.

Løsning

Grafen til funksjonen A av x er lik minus x i andre pluss 12 x er tegna for x-verdier mellom 0 og 12. I tillegg er punktene grafen er dannet av, tegnet. Illustrasjon.

I regresjonsanalyseverktøyet velger vi polynom av grad 2 som regresjonsmodell. Deretter velger vi "Kopier til grafikkfeltet" for å få grafen til funksjonen over i det vanlige grafikkfeltet. Vi finner at funksjonen $A$ kan beskrives med andregradsuttrykket

$A (x) = - x^{2} + 12 x$

e) For hvilken verdi av $x$ har rektangelet størst areal, og hva er arealet da?

Løsning

Vi ser at grafen har toppunkt når $x = 6$ . Arealet er altså størst når rektangelet er kvadratisk, det vil si når bredden er 6 cm. Arealet er da

$6 cm \cdot 6 cm = 36 {cm}^{2}$

f) En bonde har 600 m gjerde til disposisjon. Han vil gjerde inn et rektangulært område til sauene sine. Hvordan bør bonden sette opp gjerdet dersom sauene skal få mest mulig plass å boltre seg på?

Løsning

Ifølge modellen vi fant ovenfor, bør bonden gjerde inn et kvadratisk område. Sida i kvadratet blir fjerdeparten av 600 m, som er 150 m. Arealet blir da

$150 m \cdot 150 m = 22 500 m^{2}$

3.3.31

Camilla kaster en ball rett opp i lufta. Tabellen viser ballens høyde $h$ i meter etter $x$ sekunder.

x, sekunder	0	0,5	1	1,5	2	2,5	3
h, høyde over bakken	1,8	7,6	11	11,9	10,4	6,4	0

a) Bruk regresjon, og finn den andregradsfunksjonen som passer best til punktene i tabellen. Tegn grafen.

Løsning

Vi legger punktene inn i regnearkdelen i GeoGebra. Vi velger verktøyet "Regresjonsanalyse" og bruker polynom av grad 2 som regresjonsmodell.

Vi finner at funksjonen $h$ kan beskrives med uttrykket

$h (x) = - 4, 9 x^{2} + 14, 1 x + 1, 8$

Grafen til funksjonen A av x er lik minus x i andre pluss 12 x er tegnet for x-verdier mellom 0 og 12. I tillegg er punktene grafen er dannet av, tegnet. Illustrasjon. — Graf som viser høyden over bakken til en ball som blir kastet opp i lufta

b) Finn grafisk når ballen er 10 m over bakken.

Løsning

Vi kan se av grafen at ballen er 10 m over bakken etter cirka 0,8 s og etter cirka 2,1 s.

Alternativt kan vi legge inn linja $y = 10$ i grafikkfeltet i GeoGebra og finne skjæringspunktene mellom grafen og linja.

c) Når treffer ballen bakken?

Løsning

Ballen treffer bakken der grafen skjærer $x$ -aksen. Vi ser av grafen at ballen treffer bakken etter cirka 3 s.

Her kunne vi også brukt verktøyet "Nullpunkt" eller løst likningen $h (x) = 0$ .

d) Når er ballen 15 m over bakken?

Løsning

Vi ser av grafen at ballen aldri når denne høyden!

e) Hvor høyt når ballen, og når er ballen på sitt høyeste punkt?

Løsning

Vi ser av grafen at ballen når sitt høyeste punkt etter cirka 1,4 s. Da har den en høyde på 12,0 m over bakken.

Alternativt kan vi løse oppgaven ved å bruke verktøyet "Ekstremalpunkt" i GeoGebra.

3.3.32

Per målte temperaturen ute hver fjerde time gjennom et døgn. Tabellen viser klokkeslett med tilhørende temperatur $T$ .

Klokkeslett	14.00	18.00	22.00	02.00	06.00	10.00	14.00
Temperatur T i °C	2,5	0,3	-1,4	-2,0	-2,6	-2,1	-0,2

a) Bruk regresjon og finn den andregradsfunksjonen som passer best til punktene i tabellen. La $x$ være antall timer etter kl. 14.

Løsning

Vi legger punktene inn i regnearkdelen i GeoGebra og velger "Regresjonsanalyse" og polynom av grad 2 som regresjonsmodell. Vi finner at funksjonen $T$ kan beskrives med uttrykket

$T (x) = 0, 0234 x^{2} - 0, 69 x + 2, 6$

b) Hvordan passer grafen med temperaturmålingene?

Løsning

Graf som viser temperaturen etter kl. 14. Grafen går igjennom noen av punktene fra oppgaven, men ikke alle. Ingen av punktene ligger langt fra grafen. Illustrasjon.

Grafen passer nokså bra med de observerte temperaturene.

c) Hva vil temperaturen ifølge modellen være 30 timer etter at Per startet målingene?

Løsning

30 timer etter at målingen startet, det vil si kl. 18 neste dag, viser modellen en temperatur på cirka $3 C °$ .

d) Hva vil temperaturen ifølge modellen være 48 timer etter at Per startet målingene? Vurder hvor realistisk modellen er.

Løsning

CAS-utregning i GeoGebra. På linje 1 står det T av 48. Svaret med tilnærming er 23,39. Skjermutklipp.

48 timer etter at målingen startet, viser modellen en temperatur på cirka $23 C °$ . Det virker usannsynlig når temperaturen på natta var under null.

Modellen er realistisk i det døgnet Per foretok målingene. Går vi utover denne tida, virker modellen svært urealistisk. Etter modellen vil temperaturen bare stige utover.

3.3.33

Tabellen viser observert vannstand på Tregde 1. februar 2008. Observert vannstand er i cm over middelvann (middel vannstand). I tabellen er $x$ timer etter midnatt og $h$ er høyden målt i centimeter over middelvann. Av tabellen framgår det at vannstanden var spesielt lav denne dagen.

x	0	2	4	6	8	10	12
h	-9	-13	-12	-6	-3	-1	-7

a) Bruk et digitalt hjelpemiddel og finn det tredjegradsuttrykket som passer best med verdiene i tabellen.

Løsning

Graf som viser vannstanden. Punktene fra oppgaven er også tegnet inn. Grafen går igjennom ett av punktene. Ingen av de andre punktene ligger langt fra grafen. Illustrasjon. — Graf som viser vannstanden etter midnatt

Vi legger punktene inn i regnearkdelen i GeoGebra og velger "Regresjonsanalyse" og polynom av grad 3 som regresjonsmodell.

Vi finner at funksjonen $h$ kan beskrives med uttrykket

$h (x) = - 0, 066 x^{3} + 1, 15 x^{2} - 4, 19 x - 8, 95$

Vi ser at grafen treffer godt med de observerte verdiene.

b) Når var vannstanden lavest?

Løsning

Vi bruker verktøyet "Ekstremalpunkt" på funksjonen $h$ og får et toppunkt og et bunnpunkt, se figuren nedenfor.

Grafen til funksjonen h av x er lik minus 0,066 x i tredje pluss 1,15 x i andre minus 4,19 x minus 8,95 er tegnet for x-verdier mellom 0 og 13. I tillegg er punktene som danner grunnlaget for funksjonen, tegnet inn. Toppunktet med koordinater 9,42 og minus 1,08 og bunnpunktet med koordinater 2,25 og minus 13,28 er tegnet inn. Illustrasjon. — Ekstremalpunktene til grafen

Vi ser at grafen er lavere enn bunnpunktet dersom vi ser på etter kl. 13, men vi vet egentlig ikke hvor lavt det går eller hvor langt ut i tid modellen gjelder. Vi kan i alle fall si at mellom midnatt og kl. 12 var den laveste vannstanden minus 13,4 cm under middel vannstand, og det var kl. 2.15 på natta.

c) En større båt skal legge til kai i nærheten av Tregde. Båten kan ikke komme inn til kaien dersom vannstanden avviker mer enn $- 10$ cm fra middel vannstand. I hvilket tidsrom kan båten gå inn til kaien?

Løsning

Vi må se hvor grafen har verdier over $- 10$ . Vi kan se av grafen at fra litt før kl. 5 til litt etter kl. 12 kan båten gå til kai ved Tregde. Det er også noen minutter rett etter midnatt det vil være teoretisk mulig å legge til, men kanskje ikke i praksis.

d) Vurder gyldigheten til modellen lenger fram i tid.

Løsning

Vi sjekker hvilken verdi vi får 24 timer etter midnatt.

CAS-utregning med GeoGebra. På linje 1 er det skrevet h av 24. Svaret med tilnærming er minus 359,49. Skjermutklipp.

1 døgn (24 timer) etter midnatt viser modellen et avvik på -360 cm fra middel vannstand. Det er urealistisk, så modellen er ikke gyldig fram i tid.

3.3.34

Tabellen viser temperatursvingningene gjennom et flott sommerdøgn i Mandal. Temperaturen $T$ er gitt i grader og $x$ er antall timer etter midnatt.

x	0	1	4	7	9	10	12	13	15	17	20	22	24
T (°C)	19	17	15	17	19	21	25	26	27	26	24	22	18

a) Hvilken matematisk modell tror du kan passe med disse punktene?

Løsning

Vi legger punktene inn i regnearkdelen i GeoGebra, velger "Regresjonsanalyse" og observerer punktene i regresjonsanalysevinduet. Punktene ser ut omtrent som på figuren nedenfor. Da kan en tredjegradsfunksjon passe.

Punktene fra oppgaven er tegnet inn i et koordinatsystem. Punktene kan se ut til å følge en kurve som først synker, så stiger, og til slutt synker igjen. Illustrasjon.

b) Finn en matematisk modell som beskriver temperaturen i Mandal dette døgnet.

Løsning

I regresjonsanalyseverktøyet velger vi polynom med grad 3 som regresjonsmodell.

Vi finner at tredjegradsfunksjonen

$T (x) = - 0, 008 x^{3} + 0, 261 x^{2} - 1, 5 x + 18, 3$

passer godt som modell for temperaturutviklingen.

Graf som viser temperatur. Punktene fra oppgaven er også tegnet inn. Punktene passer ganske godt med grafen. Illustrasjon.

Vi observerer at modellen passer best fram til kl. 15. Så synker temperaturen raskere enn det modellen gir.

c) Vurder gyldigheten til modellen du fant ovenfor når vi lar tida $x$ etter midnatt bli mer enn 24 timer.

Løsning

Modellen vi fant, beskriver temperaturen de første 24 timene etter midnatt på en god måte. Utover 24 timer er modellen ubrukelig. Etter 24 timer vil temperaturen ifølge modellen stadig gå nedover.

CC BY-SASkrevet av Olav Kristensen og Stein Aanensen.

Sist faglig oppdatert 13.07.2022

Polynomfunksjonen som modell

3.3.30

3.3.31

3.3.32

3.3.33

3.3.34

Regler for bruk