Oppgave

Eksponentialfunksjonen som modell

Løs oppgaver om prosentvis vekst og eksponentialfunksjoner som modeller.

3.3.55

Tabellen viser daglig bruk av tid på hjemme-PC i perioden 1994 til 2006 i minutter for ei bestemt gruppe personer. Tallene er fra Statistisk sentralbyrå (SSB).

Årstall	1994	1998	1999	2003	2006
Tid i minutter	10	13	18	35	50

a) Legg punktene i et koordinatsystem, og bruk eksponentialregresjon til å finne et funksjonsuttrykk som passer med punktene. La $x$ være antall år fra 1994 og $T (x)$ bruk av tid på hjemme-PC. Plott punktene og grafen til uttrykket du finner.

Løsning

Vi får plottet både punktene og grafen når vi bruker regresjonsanalyseverktøyet i GeoGebra. Vi lager en ny rad i tabellen der vi regner ut antall år etter 1994.

Årstall	1994	1998	1999	2003	2006
x	0	4	5	9	12
Tid i minutter	10	13	18	35	50

Vi legger tallene inn i to kolonner i regnearkdelen i GeoGebra, markerer tallene og velger knappen "Regresjonsanalyse" fra verktøylinja. Så velger vi "Eksponentiell" som regresjonsmodell og kopierer grafen over i grafikkfeltet.

Grafen til funksjonen T av x er lik 8,91 multiplisert med 1,15 opphøyd i x er tegnet i GeoGebra for x-verdier mellom 0 og 13. Punktene som funksjonen er basert på, er også tegnet inn. Skjermutklipp. — Tid brukt på hjemme-PC per dag fra 1994 og utover. Bilde: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Vi finner at funksjonen kan beskrives med uttrykket $T (x) = 8, 91 \cdot 1, 15^{x}$ . Vi sier at dette er en modell for hvordan tidsbruken med hjemme-PC har utviklet seg. Modellen passer ganske bra med tallene (punktene).

b) Hvor stor er den gjennomsnittlige, årlige prosentvise økningen i bruk av hjemme-PC etter modellen?

Tips til oppgaven

Bruk vekstfaktoren i modellen.

Løsning

Vekstfaktoren er grunntallet i potensen i modellen, altså 1,15. Det tilsvarer en økning på 15 prosent for hver enhet på $x$ -aksen. Siden enheten på $x$ -aksen er år, blir den årlige prosentvise økningen på 15 prosent.

Kommentar: For å vise at en vekstfaktor på 1,15 tilsvarer en økning på 15 prosent, kan vi sette opp uttrykket for vekstfaktoren og få en likning vi kan løse:

$1 + \frac{x}{100} = 1, 15$

c) Bruk modellen du fant i a), og finn ut hvor mye tid som ble brukt på hjemme-PC i 2010 og 2020.

Løsning

År 2010 er 16 år etter 1994, og år 2020 er 26 år etter 1994. Vi løser oppgaven med CAS ved å sette inn de aktuelle $x$ -verdiene i modellen.

CAS-utregning med GeoGebra. På linje 1 er det skrevet T av 16. Svaret med tilnærming er 87,84. På linje 2 er det skrevet T av 26. Svaret med tilnærming er 367,26. Skjermutklipp. — Bilde: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Her har vi forutsatt at funksjonen har fått navnet "T" i GeoGebra.

Alternativt kan vi finne svaret ved å skrive inn punktene $(16, T (16))$ og $(26, T (26))$ .

d) Vurder gyldigheten av modellen fram i tid.

Løsning

Modellen virker troverdig å bruke i 2010, men at tidsbruken var 367 minutter, det vil si over 7 timer i 2020, virker usannsynlig. Modellen vil kun være gyldig i noen få år.

e) Hvordan ville modellen ha sett ut hvis vi bruker som utgangspunkt at det i 1994 ble brukt i gjennomsnitt 10 minutter til bruk av hjemme-PC, og den årlige prosentvise økningen skulle være 9,5 prosent?

Løsning

En økning på 9,5 prosent gir en vekstfaktor på 1,095. Hvis vi kaller den nye funksjonen $T_{2} (x)$ , får vi at

$T_{2} (x) = a \cdot 1, 095^{x}$

Året 1994 tilsvarer $x = 0$ . Det betyr at dersom vi prøver å regne ut $T_{2} (0)$ , skal vi få 10 til svar. Dette gir oss en likning.

$\begin{array}{rcl} T_{2} (0) & = & 10 \\ a \cdot 1, 095^{0} & = & 10 \\ a \cdot 1 & = & 10 \\ a & = & 10 \end{array}$

Modellen blir derfor i dette tilfellet

$T_{2} (x) = 10 \cdot 1, 095^{x}$

f) Denne statistikken ble av SSB avsluttet etter 2014. (Hva er grunnen til det, tror du?)

Gå til SSB (ssb.no), og finn tallene ved å søke på "hjemme-PC". Velg "Minutter brukt til hjemme-PC" som statistikkvariabel, velg alle årene under "År", og velg "Personer med i utvalget i alt" under "Befolkningsgruppe" for å få med hele befolkningsgruppa. Trykk "Vis tabell" nederst.

Støtter de siste målingene i tabellen det vi konkluderte med i oppgave c)?

3.3.56

Tabellen viser temperaturen i et kjøleskap de første timene etter et strømbrudd.

Antall timer etter strømbruddet	0	4	8	12	16	20
Antall grader i °C	4,0	4,4	6,0	8,9	12,5	17,9

a) Plott punktene i et koordinatsystem, og bruk eksponentialregresjon til å finne et funksjonsuttrykk som passer med punktene. La $x$ være antall timer etter strømbruddet og $T (x)$ temperaturen i kjøleskapet. Plott punktene og grafen til uttrykket du finner.

Løsning

Grafen til funksjonen T av x er lik 3,51 multiplisert med 1,08 opphøyd i x er tegnet for x-verdier mellom 0 og 25. I tillegg er punktene som funksjonen er generert av, markert. Grafen er stigende i området og stiger gradvis mer og mer. Skjermutklipp. — Temperaturen i et kjøleskap som funksjon av antall timer etter et strømbrudd. Bilde: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Vi finner at funksjonen kan beskrives med uttrykket $T (x) = 3, 51 \cdot 1, 08^{x}$ . Vi sier at dette er en modell for hvordan temperaturen i kjøleskapet utvikler seg etter strømbruddet. Modellen passer ganske bra med tallene (punktene).

b) Hva kan vekstfaktoren i uttrykket for $T (x)$ fortelle oss?

Løsning

Vekstfaktoren er 1,08. Siden enheten på $x$ -aksen er timer, får vi at temperaturen i kjøleskapet øker med 8 prosent per time.

c) Vurder gyldigheten til modellen framover i tid. Begrunn svaret ditt.

Løsning

Modellen vil gi en høyere og høyere temperatur i kjøleskapet. I virkeligheten vil temperaturen nærme seg temperaturen i rommet der kjøleskapet står. Modellen vår er nok ikke gyldig noe særlig lenger enn cirka ett døgn etter strømbruddet.

d) Lag ei skisse av hvordan du tror temperaturutviklingen i kjøleskapet vil være dersom vi antar at romtemperaturen er 22 °C.

Tips til oppgaven

Temperaturgrafen må flate ut når temperaturen nærmer seg 22 °C.

3.3.57

Tabellen viser utslippene av karbondioksid ${CO}_{2}$ i verden målt i millioner tonn for noen utvalgte år mellom 1980 og 2006.

Årstall	1980	1990	2000	2005	2006
Utslipp av ${CO}_{2}$ i millioner tonn	18 054	20 988	23 509	27 146	28 003

a) Plott punktene i tabellen i et koordinatsystem, og finn en matematisk modell som beskriver utslippene av ${CO}_{2}$ . La $x$ være antall år etter 1980 og $U (x)$ utslippene av ${CO}_{2}$ .

Løsning

Vi lager en ny rad i tabellen, der vi regner ut antall år etter 1980.

Årstall	1980	1990	2000	2005	2006
x	1	10	20	25	26
Utslipp av ${CO}_{2}$ i millioner tonn	18 054	20 988	23 509	27 146	28 003

Grafen til funksjonen T av x er lik 17847 multiplisert med 1,02 opphøyd i x er tegnet i GeoGebra for x-verdier mellom 0 og 30. Punktene som funksjonen er basert på, er også tegnet inn. Grafen er eksponentielt stigende i hele området. Skjermutklipp. — Verdens utslipp av CO₂ i millioner av tonn. Bilde: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Vi finner at funksjonen kan beskrives med uttrykket $U (x) = 17 847 \cdot 1, 02^{x}$ . Vi sier at dette er en modell for hvordan verdens utslipp av ${CO}_{2}$ har utviklet seg. Modellen passer ganske bra med tallene, men kanskje vi kunne ha brukt lineær regresjon også?

b) Hvilken årlig, prosentvis økning i ${CO}_{2}$ -utslipp gir modellen?

Løsning

Vekstfaktoren er 1,02. Siden enheten på $x$ -aksen er år, får vi at den årlige, prosentvise økning i ${CO}_{2}$ -utslippet er på 2 prosent.

c) Mange land har vedtatt å senke utslippet av ${CO}_{2}$ i tida framover. Vurder gyldigheten framover i tid av modellen du fant i a).

Løsning

Uttrykket vi fant i a) er eksponentielt, det vil si at mengden av ${CO}_{2}$ -utslipp vil øke mer og mer. Mest sannsynlig vil ${CO}_{2}$ -utslippet etter hvert flate ut, og modellen vår blir antakelig ikke korrekt langt fram i tid.

d) Finn nyere tall på utslipp av ${CO}_{2}$ . Ta med i modellen tallene for 2010, 2015, 2020 og det nyeste tallet du finner.

Hvordan blir modellen påvirket av dette?

3.3.58

Sol Sikke ville finne ut hvordan en solsikke hun hadde i hagen, vokste uke for uke. Hun målte høyden til solsikken hver uke i 8 uker. De observerte verdiene ser du i tabellen nedenfor.

Etter x uker	1	2	3	4	5	6	7	8
Høyde i cm	16	20	27	40	56	68	107	140

a) Plott punktene i et koordinatsystem, og finn et funksjonsuttrykk som passer til punktene.

Løsning

Grafen til funksjonen H av x er lik 11 multiplisert med 1,37 opphøyd i x er tegnet i GeoGebra for x-verdier mellom 0 og 8. Punktene som funksjonen er basert på, er også tegnet inn. Grafen er eksponentielt stigende i hele området. Skjermutklipp. — Høyden til en solsikke som funksjon av antall uker solsikken har vokst. Bilde: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Vi finner at funksjonen kan beskrives med uttrykket $H (x) = 11 \cdot 1, 37^{x}$ . Vi sier at dette er en modell for hvordan solsikken har vokst. Modellen passer ganske bra med tallene.

b) Hva forteller vekstfaktoren i modellen oss?

Løsning

Vekstfaktoren er 1,37. Siden enheten på $x$ -aksen er uker, får vi at den ukentlige veksten i høyden av solsikken er 37 prosent.

c) Vurder gyldigheten til modellen du fant i a).

3.3.59

Punktene i koordinatsystemet nedenfor viser fem observasjoner av lufttrykket målt i millibar på fem ulike høyder over havet.

Fem punkter er tegnet inn i et koordinatsystem. Punktene har koordinatene 0 og 1000, 2 og 800, 4 og 600, 7 og 400 og til slutt 10 og 300. Skjermutklipp. — Lufttrykk målt ved noen høyder over havet. Bilde: Olav Kristensen / CC BY-SA 4.0

a) Finn en matematisk modell som beskriver lufttrykket målt i millibar.

Løsning

Vi leser av koordinatene til punktene i koordinatsystemet og får den følgende tabellen:

Høyde over havet i km	0	2	4	7	10
Lufttrykk målt i millibar	1 000	800	600	400	300

Grafen til funksjonen f av x er lik 998 multiplisert med 0,88 opphøyd i x er tegnet i GeoGebra for x-verdier mellom 0 og 14. Punktene som funksjonen er basert på, er også tegnet inn. Grafen er eksponentielt avtagende. Skjermutklipp. — Lufttrykk i millibar som funksjon av høyde over havet i km. Bilde: Olav Kristensen / CC BY-SA 4.0

Vi finner at funksjonen kan beskrives med uttrykket $f (x) = 998 \cdot 0, 88^{x}$ . Vi sier at dette er en modell for hvordan lufttrykket endrer seg med høyden over havet. Modellen ser ut til å passe ganske bra.

b) Hva forteller vekstfaktoren i modellen oss?

Løsning

Vekstfaktoren i modellen er 0,88. Det tilsvarer en prosentvis nedgang på 12 prosent. Siden enheten på $x$ -aksen er km, får vi at lufttrykket reduseres med 12 prosent for hver km vi beveger oss rett oppover i lufta.

Norges høyeste fjell, Galdhøpiggen, ligger 2 469 meter over havet.

c) Hva blir lufttrykket på Galdhøpiggen dersom vi bruker modellen vi fant i a)?

Løsning

Vi løser oppgaven med CAS ved å sette inn den aktuelle $x$ -verdien inn i modellen.

CAS-utregning med GeoGebra. På linje 1 er det skrevet f av 2,469. Svaret med tilnærming er 735,375. Skjermutklipp. — Bilde: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Etter modellen vår blir lufttrykket på Galdhøpiggen 735 millibar.

Her har vi forutsatt at funksjonen har fått navnet " $f$ " i GeoGebra.

Alternativt kan vi finne svaret ved å skrive inn punktet $(2.469, f (16))$ .

3.3.55

3.3.56

3.3.57

3.3.58

3.3.59

Regler for bruk av teksten "Eksponentialfunksjonen som modell"