Generelt om rasjonale funksjoner

Funksjonen $f$ gitt ved $f\left(x\right)=\frac{x-2}{x+2}$ er en rasjonal funksjon.

En brøk er ikke definert når nevneren er lik null. Det betyr at $f(-2)$ ikke eksisterer. Grafen har ikke noe punkt for $x=-2$. Vi sier at grafen har et brudd for $x=-2$.

Vi tegner grafen til $f$ i GeoGebra og skriver også inn kommandoen Asymptote[f].

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-NC-SA

Bilde: Stein Aanensen, Olav Kristensen, Bjarne Skurdal

Når $x$ nærmer seg verdien $-2$ fra venstre, ser du av grafen at funksjonsverdiene vokser over alle grenser.

Det kan vises at dette er riktig. Funksjonsverdiene nærmer seg ikke en bestemt verdi når $x$ nærmer seg verdien $-2$ fra venstre, men blir uendelig store.

Vi skriver

$f\left(x\right)\to \infty$ når $x\to -2^{-}$

Vi leser "$f\left(x\right)$ går mot uendelig når $x$ går mot $-2$ fra venstre".

Tilsvarende viser det seg at funksjonsverdiene synker mot minus uendelig når $x$ nærmer seg $-2$ fra høyre. Vi skriver

$f\left(x\right)\to -\infty$ når $x\to -2^{+}$

Legg merke til $+$ og $-$ som markerer om $x$ nærmer seg $-2$ fra venstre eller fra høyre.

Du kan undersøke om dette virker sannsynlig ved å sette inn verdier for $x$ som er veldig nær $-2$.

Grafen til $f$ består av to deler, en del til venstre for linja $x=-2$ og en del til høyre for linja $x=-2$. Linja $x=-2$ kalles en loddrett eller vertikal asymptote.

Det kan videre vises at grafen «flater ut» og nærmer seg linja $y=1$ når $x$ går mot pluss eller minus uendelig. Det vil si at funksjonsverdiene nærmer seg verdien $1$ som grenseverdi når $x$ går mot pluss eller minus uendelig, men uten noen gang å bli lik $1$.

Den ene delen av grafen nærmer seg linja ovenfra og den andre delen nedenfra. De to delene av grafen vil aldri krysse linja. Linja $y=1$ er en vannrett eller horisontal asymptote.