Disse oppgavene med grenseverdier til rasjonale funksjoner kan løses med og uten digitale verktøy.
2.1.30
a) Hva kaller vi denne typen funksjoner, og hva kjennetegner dem?
Løsning
Det er en rasjonal funksjon, siden telleren og nevneren er polynomer. En rasjonal funksjon er ikke definert når nevneren er lik 0, og funksjonen til f er ikke definert for de x-verdiene som gjør at nevneren blir 0.
b) Fyll ut verditabellen: x01233,53,9944,01567fx
Løsning
x01233,53,9944,01567fx-1-2-4-10-22-119812021486
c) Se på verditabellen og beskriv hva som skjer når x-verdien nærmer seg 4. Hvilken betydning har det for grafen til f?
Løsning
Når x-verdier nærmer seg 4 fra den negative sida av x-aksen, slik som når x er lik 3,99 i verditabellen, minker verdien til fx mye. Grafen avtar raskt. Når x-verdier nærmer seg 4 fra den positive sida av x-aksen, slik som når x er lik 4,01 i verditabellen, stiger verdien til fx mye. Grafen vokser raskt.
d) Se på verditabellen og beskriv hva som skjer når x=4. Hvilken betydning har det for grafen til f?
Løsning
Det er ikke mulig å finne en fx-verdi for x er lik 4, siden nevneren blir 0. Grafen eksisterer ikke for x=4.
e) Finn den vertikale asymptoten uten bruk av digitale verktøy.
Løsning
Vi setter nevneren lik 0 for å finne den vertikale asymptoten:
x-4=0x=4
Vi har funnet en vertikal asymptote for x=4.
f) Bruk digitale verktøy til å tegne funksjonen fx=2x+4x-4.
Løsning
Vi tegner grafen til fx=2x+4x-4:
g) Finn den vertikale asymptoten til f ved hjelp av digitale verktøy.
Løsning
Vi velger kommandoen Asymptote(<Funksjon>) og skriver f for "funksjon". Da finner vi den vertikale asymptoten, ei rød stiplet linje, for x=4.
h) Får du flere asymptoter eller linjer? Hva kan den siste linja være?
Løsning
Linja y=2, den røde stiplede linja, er en horisontal asymptote for f. Den viser hvilken verdi grafen nærmer seg når x vokser mot ±∞.
b) Regn ut grenseverdien for f når x går mot ±2 ved hjelp av digitale verktøy.
Løsning
Vi bruker CAS i GeoGebra. Vi velger kommandoen Grenseverdi ( <Uttrykk> , <Verdi> ) og får:
c) Hva kan vi si om funksjonen ut ifra grenseverdiene vi fant i a) og b)?
Løsning
Funksjonen eksisterer ikke for når x=2, mens den får verdien fx=-34 når x=-2. Funksjonen har ingen asymptote i x=-2, siden vi kan forkorte uttrykket og få fx=3x+6x2-4=3(x+2)(x+2)(x-2)=3x-2
d) Finn den vertikale asymptoten til f ved hjelp av regning.
Løsning
Vi setter nevneren lik 0.
x2-4=0x2=4x=2∨x=-2
Vi undersøker om x=2 er en vertikal asymptote.
Så setter vi x=2 inn i telleren: 3·2+6=12.
Telleren er et tall forskjellig fra null, og nevneren er null for x=2, så x=2 er en vertikal asymptote.
Vi setter x=-2 inn i telleren: 3·(-2)+6=0.
Både telleren og nevneren er null for x=-2 . Det gir et 00-uttrykk. Funksjonen kan da ha en grenseverdi når x nærmer seg -2. Grenseverdien fant vi i a). Grenseverdien for x=-2 er -34. Grenseverdien eksisterer, og vi får ingen asymptote for x=-2.
e) Hvilken sammenheng er det mellom grafen til f og den vertikale asymptoten til f?
Løsning
Den vertikale asymptoten til f lager ei rett linje som grafen til f bare kan nærme seg, men ikke krysse.
f) Bruk digitale verktøy til å tegne f sammen med asymptotene til f.
Løsning
Grafen til fx=3x+6x2-4:
2.1.32
Finn definisjonsområdet og eventuelle vertikale asymptoter for hver av funksjonene under.
a) fx=x2-2x2+4
Løsning
Funksjonen er en rasjonal funksjon, og den er ikke definert for x-verdier som gir 0 i nevneren. Vi setter nevneren lik 0:
x2+4=0x2=-4
Det er ingen x-verdier som gir 0 i nevneren.
Definisjonsområdet for f er Df=ℝ. Funksjonen har ingen vertikale asymptoter, siden den er definert for alle verdier av x.
b) gx=x+1x2-4
Løsning
Funksjonen er en rasjonal funksjon, og den er ikke definert for x-verdier som gir 0 i nevneren. Vi setter nevneren lik 0:
x2-4=0x2=4x=2∨x=-2
Vi sjekker om telleren blir 0 for x=2: 2+1=3.
Vi sjekker om telleren blir 0 for x=-2: -2+1=-1.
Både x=2 og x=-2 er asymptoter for f(x). Definisjonsområdet for g er Dg=ℝ\-2,2.
c) hx=4x2x2-x
Løsning
Funksjonen er en rasjonal funksjon, og den er ikke definert for x-verdier som gir 0 i nevneren. Vi setter nevneren lik 0: x2-x=0x(x-1)=0x=0∨x=1
Vi sjekker om telleren blir 0 for x=0: 4·02=0. Det gir et 00-uttrykk. Funksjonen kan da ha en grenseverdi når x nærmer seg null.
Grenseverdien finner vi slik:
limx→04x2x2-x=limx→04x2x(x-1)=4·00-1=0-1=0
Grenseverdien eksisterer, og vi får ingen asymptote for x=0.
Vi sjekker om telleren blir 0 for x=1: 4·12=4. Telleren er et tall forskjellig fra null, og nevneren er null for x=1, så x=1 er en vertikal asymptote. Definisjonsområdet for h er Dh=ℝ\1.
d) ix=x2-2x2+5x+6
Løsning
Funksjonen er en rasjonal funksjon, og den er ikke definert for x-verdier som gir 0 i nevneren. Vi setter nevneren lik 0: x2+5x+6=0(x+2)·(x+3)=0x=-2∨x=-3.
Vi sjekker om telleren blir 0 for x=-2: (-2)2-(-2)=4+2=6.
Vi sjekker om telleren blir 0 for x=-3: (-3)2-2=9-2=7.
Både x=-2 og x=-3 er asymptoter for ix. Definisjonsområdet for i er Di=ℝ\-2,-3.
2.1.33
Regn ut eventuelle vertikale asymptoter til funksjonene uten bruk av hjelpemidler. Prøv å beskrive hva den vertikale asymptoten forteller om funksjonen i hvert enkelt tilfelle. Til slutt bruker du digitale verktøy til å tegne funksjonen, og for å se om du fant de riktige asymptotene.
a) fx=x+3x-1
Løsning
Vi setter nevneren lik 0:
x-1=0x=1
Vi sjekker om telleren blir 0 for x=1:1+3=4. x=1 er en vertikal asymptote for f. Det betyr at funksjonen ikke eksisterer for x=1, og at grafen ikke kan krysse linja x=1. Vi ser på hva som skjer når grafen nærmer seg asymptoten x=1 fra
venstre side: limx→1-fx=-∞
høyre side: limx→1+fx=∞
Vi tegner grafen med GeoGebra og finner asymptotene:
b) gx=x2-4x2-9
Løsning
Vi setter nevneren lik 0:
x2-9=0x2=9x=±3
Vi sjekker om telleren blir 0 for x=3: 32-4=5.
Vi sjekker om telleren blir 0 for x=-3: (-3)2-4=5.
Både x=-3 og x=3 er vertikale asymptoter for g. Det betyr at funksjonen ikke eksisterer for x=-3 og x=3, og at grafen ikke kan krysse linjene som er asymptoter.
Vi ser på hva som skjer når grafen nærmer seg asymptoten x=-3 fra
venstre side: limx→-3-gx=+∞
høyre side: limx→-3+gx=-∞
Så ser vi på hva som skjer når grafen nærmer seg asymptoten x=3 fra
venstre side: limx→3-gx=-∞
høyre side: limx→3+gx=+∞
Vi tegner grafen med GeoGebra og finner asymptotene:
c) hx=x2-3x2-5x-6
Løsning
Vi setter nevneren lik 0:
x2-5x-6=0(x-6)(x+1)=0x=6∨x=-1
Vi sjekker om telleren blir 0 for x=6: 62-3=36-3=33x=6 er en vertikal asymptote for hx.
Vi sjekker om telleren blir 0 for x=-1: -12-3=1-3=-2x=-1 er en vertikal asymptote for hx.
Vi ser på hva som skjer når grafen nærmer seg asymptoten x=6 fra
venstre side: limx→6-hx=-∞
høyre side: limx→6+hx=+∞
Så ser vi på hva som skjer når grafen nærmer seg asymptoten x=-1 fra
venstre side: limx→-1-hx=-∞
høyre side: limx→-1+hx=+∞
Vi tegner grafen med GeoGebra og finner asymptotene:
d) ix=x+2x2-4
Løsning
Vi setter nevneren lik 0:
x2=4x=±2
Vi sjekker om telleren blir 0 for x=2 : 2+2=4x=2 er en vertikal asymptote for ix.
Vi sjekker om telleren blir 0 for x=-2: -2+2=0x=-2 er ikke en vertikal asymptote for i(x).
Vi ser på hva som skjer når grafen nærmer seg asymptoten x=2 fra
venstre side: limx→2-ix=-∞
høyre side: limx→2+ix=∞
Så tegner vi grafen med GeoGebra og finner asymptotene: