Rasjonale funksjoner og vertikal asymptote
En rasjonal funksjon er en funksjon som kan skrives som en brøk der telleren og nevneren er polynomer.
Polynomene kan ha grad null, derfor er for eksempel også funksjonen en rasjonal funksjon.
Vi undersøker funksjonen gitt ved
.
En brøk er ikke definert når nevneren er lik null. Vi undersøker om har noen grenseverdi når nærmer seg . Vi regner ut telleren og nevneren hver for seg.
Det betyr at ikke eksisterer.
Når nærmer seg verdien fra venstre, vokser funksjonsverdiene over alle grenser.
Vi skriver
(Legg merke til hvordan vi markerer at nærmer seg fra venstre.)
Når nærmer seg verdien fra høyre, avtar funksjonsverdiene uten grenser.
Vi skriver
Hvis en funksjon fra den ene eller andre siden, så er linjen en vertikal asymptote for grafen til
Når
Dette betyr at linjen
Ut fra ovenstående kan vi si at
Vi finner når nevneren er lik null.
Det er her to mulige vertikale asymptoter,
Vi undersøker først om
Telleren er et tall forskjellig fra null og nevneren er null for
Vi undersøker så om
Både teller og nevner er null for
Funksjonen kan da ha en grenseverdi når
Grenseverdien finner vi slik
Grenseverdien eksisterer og vi får ingen asymptote for