Utforsking av grenseverdier
Gitt funksjonen
Funksjonen er ikke definert for , for da blir nevneren lik null. Det er likevel aktuelt å spørre seg hva som skjer med verdiene til funksjonen når
Oppgave
Bruk regneark eller CAS i GeoGebra og regn ut noen funksjonsverdier for
Ut fra tabellen over kan det synes som om jo nærmere
I så tilfelle skriver vi dette som
eller
Lim er en forkortelse for det latinske ordet limes, som betyr "grense".
Litt upresist kan vi si følgende:
Hvis vi kan få
Vi leser dette som "grenseverdien for
Vi forutsetter at
Definisjonen sier at
Metoden vi brukte med å regne ut noen funksjonsverdier ovenfor, er ikke en pålitelig metode for å finne grenseverdier. Pålitelige metoder får du lære i de følgende artiklene. Foreløpig skal vi utforske begrepet grenseverdier og prøve å forstå det.
Matematikere har kommet fram til en presis definisjon av grenseverdi som gjør det mulig å lage regneregler og dermed regne ut grenseverdier. Denne definisjonen ligger egentlig utenfor dette kurset, men vi tar den med for spesielt interesserte. Denne definisjonen omtales ofte som epsilon-delta-definisjonen, siden vi bruker de greske bokstavene
Vi sier at funksjonen
Bare vi velger
Med utgangspunkt i definisjonen ovenfor kan vi bevise et sett med setninger for grenseverdier. Disse setningene kan vi bruke når vi skal finne grenseverdier. Dette finner du mer om på sida "Grenseverdisetningene". Bevisene for disse setningene ligger utenfor rammene for R1-kurset, men i artikkelen "Andre matematiske bevis" (fra R2) finner du en grundig gjennomgang av denne definisjonen.
Relatert innhold
Her tar vi for oss de fire grunnleggende grenseverdisetningene med regneeksempler.