Oppgave

Tallsystemer. Det binære tallsystemet

Det fins 10 typer mennesker: De som forstår binære tall, og de som ikke gjør det.

1.1.100

Skriv tallene på utvidet form med potenser (eksempel: $103 = 1 \cdot 10^{2} + 0 \cdot 10^{1} + 3 \cdot 10^{0}$ ).

a) 23

Løsning

$23 = 2 \cdot 10^{1} + 3 \cdot 10^{0}$

b) 50

Løsning

$50 = 5 \cdot 10^{1} + 0 \cdot 10^{0}$

c) 403

Løsning

$403 = 4 \cdot 10^{2} + 0 \cdot 10^{1} + 3 \cdot 10^{0}$

d) 101₂

Løsning

Vi kan sette tallene inn i en tabell slik som på teorisiden for å få litt ekstra hjelp.

$4 = 2^{2}$	$2 = 2^{1}$	$1 = 2^{0}$
1	0	1

$101_{2} = 1 \cdot 2^{2} + 0 \cdot 2^{1} + 1 \cdot 2^{0}$

e) 11 011₂

Løsning

$11 011_{2} = 1 \cdot 2^{4} + 1 \cdot 2^{3} + 0 \cdot 2^{2} + 1 \cdot 2^{1} + 1 \cdot 2^{0}$

f) 1 011 101₂

Løsning

$\begin{array}{rcl} 1 011 101_{2} & = & 1 \cdot 2^{6} + 0 \cdot 2^{5} + 1 \cdot 2^{4} + 1 \cdot 2^{3} \\ + 1 \cdot 2^{2} + 0 \cdot 2^{1} + 1 \cdot 2^{0} \end{array}$

g) 2E₁₆

Løsning

$2 E_{16} = 2 \cdot 16^{1} + 14 \cdot 16^{0}$

h) 4AD2₁₆

Løsning

$4 AD 2_{16} = 4 \cdot 16^{3} + 10 \cdot 16^{2} + 13 \cdot 16^{1} + 2 \cdot 16^{0}$

1.1.101

Skriv tallene som tall i titallsystemet.

a) $101_{2}$

Løsning

Vi finner svaret ved å skrive tallet på utvidet form.

$\begin{array}{rcl} 101_{2} & = & 1 \cdot 2^{2} + 0 \cdot 2^{1} + 1 \cdot 2^{0} \\ = & 1 \cdot 4 + 1 \cdot 1 \\ = & 5_{10} \end{array}$

b) $11 001_{2}$

Løsning

Vi kan godt utelate leddene som blir 0 når vi skriver tallene på utvidet form, siden vi skal gjøre om til tall i titallsystemet.

$\begin{array}{rcl} 11 001_{2} & = & 1 \cdot 2^{4} + 1 \cdot 2^{3} + + 0 \cdot 2^{2} + 0 \cdot 2^{1} + 1 \cdot 2^{0} \\ = & 1 \cdot 16 + 1 \cdot 8 + 1 \cdot 1 \\ = & 25_{10} \end{array}$

c) $110 001_{2}$

Løsning

$\begin{array}{rcl} 110 001_{2} & = & 1 \cdot 2^{5} + 1 \cdot 2^{4} + 0 \cdot 2^{3} + 0 \cdot 2^{2} + 0 \cdot 2^{1} + 1 \cdot 2^{0} \\ = & 1 \cdot 32 + 1 \cdot 16 + 1 \cdot 1 \\ = & 49_{10} \end{array}$

d) $1 011 011_{2}$

Løsning

$\begin{array}{rcl} 1 011 011_{2} & = & 1 \cdot 2^{6} + 0 \cdot 2^{5} + 1 \cdot 2^{4} + 1 \cdot 2^{3} \\ + 0 \cdot 2^{2} + 1 \cdot 2^{1} + 1 \cdot 2^{0} \\ = & 64 + 16 + 8 + 2 + 1 \\ = & 91_{10} \end{array}$

e) BC₁₆

Løsning

${BC}_{16} = 11 \cdot 16^{1} + 12 \cdot 16^{0} = 188_{10}$

f) 14FF₁₆

Løsning

$\begin{array}{rcl} 14 {FF}_{16} & = & 1 \cdot 16^{3} + 4 \cdot 16^{2} + 15 \cdot 16^{1} + 15 \cdot 16^{0} \\ = & 4 096 + 4 \cdot 256 + 15 \cdot 16 + 15 \\ = & 5 375_{10} \end{array}$

g) 275₈

Tips til oppgaven

Dette er et tall i åttetallsystemet.

Løsning

Vi må bruke potenser der grunntallet er 8 når vi skal skrive tallet på utvidet form.

$\begin{array}{rcl} 275_{8} & = & 2 \cdot 8^{2} + 7 \cdot 8^{1} + 5 \cdot 8^{0} \\ = & 2 \cdot 64 + 7 \cdot 8 + 5 \\ = & 189_{10} \end{array}$

1.1.102

Skriv tallene som tall i totallsystemet.

a) 10₁₀

Løsning

Vi må skrive 10 som en sum av toerpotenser. 10 er mindre enn 16 ( $2^{3}$ ), men større enn 8 ( $2^{2}$ ). Resten blir 2 ( $2^{1}$ ).

$\begin{array}{rcl} 10_{10} & = & 8 + 2 \\ = & 1 \cdot 2^{3} + 1 \cdot 2^{1} \\ = & 1 \cdot 2^{3} + 0 \cdot 2^{2} + 1 \cdot 2^{1} + 0 \cdot 2^{0} \\ = & 1 010_{2} \end{array}$

b) 21₁₀

Løsning

$\begin{array}{rcl} 21_{10} & = & 16 + 4 + 1 \\ = & 1 \cdot 2^{4} + 1 \cdot 2^{2} + 1 \cdot 2^{0} \\ = & 1 \cdot 2^{4} + 0 \cdot 2^{3} + 1 \cdot 2^{2} + 0 \cdot 2^{1} + 1 \cdot 2^{0} \\ = & 10 101_{2} \end{array}$

c) 100₁₀

Løsning

$\begin{array}{rcl} 100_{10} & = & 64 + 32 + 4 \\ = & 1 \cdot 2^{6} + 1 \cdot 2^{5} + 1 \cdot 2^{2} \\ = & 1 \cdot 2^{6} + 1 \cdot 2^{5} + 0 \cdot 2^{4} + 0 \cdot 2^{3} \\ + 1 \cdot 2^{2} + 0 \cdot 2^{1} + 0 \cdot 2^{0} \\ = & 1 100 100_{2} \end{array}$

d) 200₁₀

Løsning

$\begin{array}{rcl} 200_{10} & = & 128 + 64 + 8 \\ = & 1 \cdot 2^{7} + 1 \cdot 2^{6} + 1 \cdot 2^{3} \\ = & 1 \cdot 2^{7} + 1 \cdot 2^{6} + 0 \cdot 2^{5} + 0 \cdot 2^{4} \\ + 1 \cdot 2^{3} + 0 \cdot 2^{2} + 0 \cdot 2^{1} + 0 \cdot 2^{0} \\ = & 11 001 000_{2} \end{array}$

1.1.103

Hva blir tallet i totallsystemet som starter med 1 og har 16 nuller etter seg hvis vi regner det om til et tall i titallsystemet?

Løsning

1-tallet står på plassen som tilsvarer potensen $2^{16}$ .

$10 000 000 000 000 000_{2} = 1 \cdot 2^{16} = 65 536_{10}$

1.1.104

a) Legg sammen 378 og 742 manuelt ved å sette dem under hverandre.

Løsning

$\begin{array}{rcl} \overset{1}{3} \overset{1}{7} 8 \\ + 742 \\ = & 1120 \end{array}$

b) Legg sammen 10 101₂ og 1 110₂ på tilsvarende måte.

Løsning

$\begin{array}{rcl} \overset{1}{1} \overset{1}{0} 101 \\ + 1110 \\ = & 100011 \end{array}$

1.1.105 – utfordring!

a) Skriv en algoritme for et program som gjør om et tall i totallsystemet til et tall i titallsystemet.

Løsning

Vi tar utgangspunkt i framgangsmåten i oppgaven over, der vi gjør om fra et tall i totallsystemet til et tall i titallsystemet ved regning. Vi lar programmet ta siffer for siffer og multiplisere hvert siffer med riktig toerpotens .

La brukeren av programmet skrive inn det binære tallet.
Finn lengden av tallet, altså hvor mange sifre tallet har.
Lag ei løkke som sjekker hvert siffer, og dersom sifferet er 1, multipliseres 1 med den tilhørende toerpotensen. Resultatet legges til en variabel for tallet i titallsystemet.
Skriv innholdet av variabelen til skjermen.

b) Skriv koden til programmet.

Tips til oppgaven

Her kan det være lurt å bruke ei for-løkke. Husk at det er mange måter å løse dette på.

Løsning

python

1    # Skriver litt forklarende tekst
2print("Dette programmet gjør om et binært tall til et tall i titallsystemet.")
3bin = input("Skriv inn det binære tallet: ")
4sifre = len(bin)
5sum = 0
6    # Lager for-løkke som går gjennom det binære tallet siffer for siffer
7for i in range(sifre):
8  if bin[i] == "1":
9    sum = sum + 2**(sifre-1-i)
10  
11print(f"Det binære tallet {bin} er {sum} i titallsystemet.")

c) Skriv en algoritme for et program som gjør om et tall i titallsystemet til et binært tall.

Løsning

Vi må finne ut hvordan tallet skrives på utvidet form i totallsystemet, som betyr at vi må skrive tallet som en sum av toerpotenser.

La brukeren skrive inn tallet i titallsystemet som skal gjøres om.
Først må vi finne den største toerpotensen som er mindre enn tallet som skal gjøres om. (For tallet 100 er $2^{6} = 64$ den største toerpotensen som er mindre enn tallet.) Dette kan vi gjøre ved å prøve med 2 opphøyd i 0, 2 opphøyd i 1 og så videre, helt til toerpotensen blir større enn tallet som skal gjøres om.
Vi regner ut hvor stor resten blir når vi trekker fra denne toerpotensen. Vi får sifferet "1" for denne potensen.
Så må vi sjekke om resultatet er positivt eller negativt ved å trekke den nest største toerpotensen fra resten. Er resultatet negativt, betyr det at resten er mindre enn den nest største toerpotensen, som gir sifferet "0" på denne posisjonen i det binære tallet. Er resultatet positivt eller null, får vi sifferet "1" på denne posisjonen, og vi trekker denne toerpotensen fra resten. Så gjentar vi denne prosessen til vi har kommet til 2 opphøyd i 0.
Skriv ut svaret til skjermen.

d) Skriv koden til programmet.

Løsning

python

1    # Skriver litt forklarende tekst
2print("Dette programmet gjør om et tall i titallsystemet til et binært tall.")
3titall = int(input("Skriv inn tallet i titallsystemet: "))
4    # Finner den største toerpotensen som er mindre enn tallet
5i = 0
6while 2**(i+1) < titall:
7  i = i + 1
8
9bin = ""
10rest = titall
11    # Genererer det binære tallet siffer for siffer
12while i > -1:
13  if rest - 2**i >= 0:
14    rest = rest - 2**i
15    bin = bin + "1"
16  else:
17    bin = bin + "0"
18  
19  i = i - 1  
20  
21print(f"Tallet {titall} i titallsystemet er {bin} i totallsystemet.")

1.1.100

1.1.101

1.1.102

1.1.103

1.1.104

1.1.105 – utfordring!

Regler for bruk av teksten "Tallsystemer. Det binære tallsystemet"