Andregradsfunksjoner

$$\begin{gathered} A(2, -1) \\ B(3, 0) \\ C(0, 3) \\ D(4, 3) \end{gathered}$$

$\begin{array}{rcl}f(\mathrm{0)} & =& 0^2-4·0+3=3\\ f\left(2\right) & =& 2^2-4·2+3=4-8+3=-1\\ f\left(3\right) & =& 3^2-4·3+3=9-12+3=0\\ f\left(4\right) & =& 4^2-4·4+3=16-16+3=3\end{array}$

Når vi regner ut$f(2)$, finner vi funksjonsverdien for $x=2$ $f\left(2\right)=2^2-4·2+3=-1$, det vil si punktet A på grafen. Et punkt $\left(b, f\left(b\right)\right)$ vil derfor alltid ligge på grafen til $f$ for alle verdier for $b$ der funksjonen eksisterer.

Tallet for andregradsleddet er positivt. Grafen vil vende sin hule side opp (smile) og vil da ha et bunnpunkt. Grafen skjærer andreaksen i 12.

Tallet foran andregradsleddet er negativt. Grafen vil vende sin hule side ned (sur) og vil da ha et toppunkt. Grafen skjærer andreaksen i 4.

Tallet foran andregradsleddet er negativt. Grafen vil vende sin hule side ned (sur) og vil da ha et toppunkt. Grafen skjærer andreaksen i $-8$.

Tallet foran andregradsleddet er positivt. Grafen vil vende sin hule side opp (smile) og vil da ha et bunnpunkt. Grafen skjærer andreaksen i 0.

Vi bruker verktøyet "Nullpunkt" i GeoGebra. Bunnpunktet er $(-0.5,-6.25).$

Vi bruker verktøyet "Nullpunkt" i GeoGebra. Nullpunktene er $x=-3$ og $x=2$.

Grafen skjærer $x$-aksen for $x=-3 \mathrm{og} x=2.$ Skjæringspunktene kalles nullpunkter.

Vi tegner linja $y=10.$ Vi finner skjæringspunktet mellom denne linja og grafen til h med kommandoen "Skjæring mellom to objekt". Se punktene D og E i løsningen til oppgave a). Ballen er 10 meter over bakken etter 0,8 sekunder og etter 2,1 sekunder.

Vi finner nullpunktet med verktøyet "Nullpunkt". Se punktet C i løsningen til oppgave a). Ballen treffer bakken etter 3 sekunder.

Vi ser av grafen i løsningen til oppgave a) at ballen aldri når denne høyden.

Vi finner toppunktet med verktøyet "Ekstremalpunkt". Se punkt A i løsningen til oppgave a). Ballen når sitt høyeste punkt etter omtrent 1,4 sekunder og har da en høyde på 12 meter over bakken.

$\begin{array}{rcl} \boxed{B} f\left(x\right)& = & x^2-2x+2\\ & & \\ f\left(x\right)& =& -x^2-2x+2\\ & & \\ f\left(x\right)& =& 2x^2-2x+2\\ & & \\ \boxed{A} f\left(x\right)& =& -0,5x^2-2x+2\\ & & \\ f\left(x\right)& =& -0,5x^2-2x-6\\ & & \\ \boxed{C} f\left(x\right)& =& -x^2+4x-6\end{array}$

Når $$ f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c $$ og $$ a>0$$, vil grafen vende sin hule side opp (smile). Grafen vil da ha et bunnpunkt. Grafen skjærer andreaksen i 12 fordi konstantleddet $$ c=12$$.

Symmetrilinja er $$ x=\frac{-b}{2a}=\frac{7}{2}$$.

Bunnpunktet har koordinatene $\left(\frac{7}{2}, f\left(\frac{7}{2}\right)\right)=\left(\frac{7}{2}, -\frac{1}{4}\right)$.

$f\left(\frac{7}{2}\right)={\left(\frac{7}{2}\right)}^2-7·\frac{7}{2}+12=-\frac{1}{4}$

Verdimengden blir da $$ [-\frac{1}{4}, \to \rangle $$.

For å finne nullpunktene løser vi likningen

$$ \begin{array}{rcl}f\left(x\right)& = & 0\\ & & \\ x^2-7x+12& =& 0\\ & & \\ x& =& \frac{7\pm \sqrt{7^2-4·12}}{2}=\frac{7\pm 1}{2}\\ & & \\ x_1& =& 3 x_2=4\end{array}$$

Nullpunktene er 3 og 4.

Når $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$ og $a<0$, vil grafen vende sin hule side ned (sur). Grafen vil da ha et toppunkt. Grafen skjærer andreaksen i 4 fordi konstantleddet $c=4$.

Symmetrilinja er $x=\frac{-2}{2·-2}=\frac{1}{2}$.

Toppunktet har koordinatene

$(\frac{1}{2}, \frac{9}{2})$

Verdimengden blir da $$ \langle \leftarrow , \frac{9}{2}]$$.

For å finne nullpunktene løser vi likningen

$$ \begin{array}{rcl}g\left(x\right)& = & 0\\ & & \\ -2x^2+2x+4& =& 0\\ & & \\ x& =& \frac{-2\pm \sqrt{{\left(-2\right)}^2-4·\left(-2\right)·4}}{2·\left(-2\right)}=\frac{-2\pm 6}{-4}\\ & & \\ x_1& =& -1 x_2=2\end{array}$$

Nullpunktene er $-1$ og $2$.

Når $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$ og $a<0$, vil grafen vende sin hule side ned (sur). Grafen vil da ha et toppunkt. Grafen skjærer andreaksen i $-8$ fordi konstantleddet $c=-8$.

Symmetrilinja er $x=\frac{-b}{2a}=\frac{0}{-2}=0$.

Toppunktet faller da sammen med skjæring med andreaksen: $\left(0, -8\right)$

Verdimengden er $$ ⟨\leftarrow , -8]$$.

Grafen til ligger $h$ under $x$-aksen. $$ V_f=⟨\leftarrow , -8]$$. Funksjonen har derfor ingen nullpunkter.

Når $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$ og $a>0$, vil grafen vende sin hule side opp (smile). Grafen vil da ha et bunnpunkt. Grafen skjærer andreaksen i 0 fordi konstantleddet $c=0$.

Symmetrilinja blir $x=\frac{-b}{2a}=\frac{-12}{2·3}=-2$.

Bunnpunktet har koordinatene $$ \left(-2, i\left(-2\right)\right) = \left(-2, -12\right)$$.

$i\left(-2\right)=3·{\left(-2\right)}^2+12·-2=-12$

Verdimengden blir da $$ [-12,\to \rangle $$.

For å finne nullpunktene løser vi likningen

$\begin{array}{rcl}i\left(x\right)& = & 0\\ & & \\ 3x^2+12x& =& 0\\ & & \\ 3x\left(x+4\right)& =& 0\\ & & \\ x_1& =& -4 x_2=0\end{array}$

Nullpunktene er $- 4$ og 0.

Vi bruker verktøyet "Ekstremalpunkt" i GeoGebra.

Vi ser av grafen at bunnpunktet er $$ \left(-0.5, -6.25\right)$$.

Ved regning

Symmetrilinja blir $x=\frac{-1}{2·1}=-0,5$.

y-verdien blir da $f\left(-0,5\right)={\left(-0,5\right)}^2-0,5-6=-6,25$.

Bunnpunktet blir $$ \left(-0,5 , -6,25\right)$$.

Grafen til $f$ skjærer førsteaksen i $\left(-3,0\right)$ og $\left(2,0\right)$.

Grafen til $f$ skjærer andreaksen i $\left(0,-6\right)$.

Grafen skjærer andreaksen når $x=0$:

$f\left(0\right)=-6$

Skjæringspunktene er $\left(0, -6\right)$.

Grafen skjærer andreaksen når $y=0$

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)& = & 0\\ & & \\ x^2+x-6& =& 0\\ & & \\ x& =& \frac{-1\pm \sqrt{1^2-4·\left(-6\right)}}{2}\\ & & \\ x& =& -3 \vee x=2\end{array}$

Grafen skjærer førsteaksen i punktene $\left(-3, 0\right)$ og $\left(2, 0\right)$.

I denne oppgaven skulle vi velge $x$-verdier fra og med $-4$ til og med $3$.

Definisjonsmengden $D_f$ til funksjonen blir dermed $D_f=\left[-4, 3\right]$.

Den laveste verdien til funksjonen $f$ er $-6,25$. Vi ser grafisk at den høyeste verdien til funksjonen er 6.

Verdimengden $V_f$ blir dermed $V_f=\left[-6.25, 6\right]$.

Vi tegner grafen i GeoGebra ved å skrive inn

$$ \text{f}\left(\text{x}\right)=\mathrm{Funksjon}(-0.01{\text{x}}^2+0.85\text{x}+2.20, 0, \infty )$$.

Vi finner skjæringspunktene mellom aksene og grafen ved å bruke kommandoen "Skjæring mellom to objekt".

Grafen skjærer $x$-aksen for $x=87,5$ og $$ y$$-aksen for $y=2,2$.

Vi finner toppunktet ved å bruke verktøyet "Ekstremalpunkt".

Toppunktet er $$ \left(42.5, 20.3\right)$$.

Andreas kaster ut spydet 2,2 meter over bakken. Spydet når en høyde på litt over 20 meter, og lengden på kastet er 87,5 meter.