Fagartikkel

Faktorisering av andregradsuttrykk ved hjelp av nullpunktmetoden

Vi kan faktorisere andregradsuttrykk ved en metode som kalles nullpunktmetoden. Vi illustrerer metoden gjennom to eksempler.

Eksempel 1

Vi ser på andregradsuttrykket $x^{2} - 2 x - 8$ .

Vi starter med å finne nullpunktene.

Vi løser da likningen $x^{2} - 2 x - 8 = 0$ .

$\begin{array}{rcl} x^{2} - 2 x - 8 & = & 0 \\ x & = & \frac{- (- 2) \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1} \\ x & = & \frac{2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} \\ x & = & \frac{2 \pm 6}{2} \\ x_{1} & = & \frac{2 - 6}{2} = - 2 \\ x_{2} & = & \frac{2 + 6}{2} = 4 \end{array}$

Uttrykket $x^{2} - 2 x - 8$ er altså lik null når $x = - 2$ og når $x = 4$ .
Ser du at uttrykket $(x - (- 2)) (x - 4) = (x + 2) (x - 4)$ også er lik null når $x = - 2$ og når $x = 4$ ?

Vi multipliserer og ser at

$(x + 2) (x - 4) = x^{2} - 4 x + 2 x - 8 = x^{2} - 2 x - 8$

Vi har da at

$x^{2} - 2 x - 8 = (x + 2) (x - 4)$

Andregradsuttrykket er faktorisert!

Er dette en metode vi kan bruke for å faktorisere alle andregradsuttrykk?

Vi prøver med et nytt eksempel!

Eksempel 2

Vi ser på uttrykket $2 x^{2} - x - 3$ .

Vi starter igjen med å finne nullpunktene, og løser likningen $2 x^{2} - x - 3 = 0$ .

$\begin{array}{rcl} 2 x^{2} - x - 3 & = & 0 \\ x & = & \frac{- (- 1) \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 2} \\ x & = & \frac{1 \pm \sqrt{25}}{4} \\ x_{1} & = & \frac{1 - 5}{4} = - 1 \\ x_{2} & = & \frac{1 + 5}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \end{array}$

Uttrykket $2 x^{2} - x - 3$ er altså lik null når $x = - 1$ og når $x = \frac{3}{2}$ .

Vi prøver samme metode som i forrige eksempel og ser at uttrykket $(x + 1) (x - \frac{3}{2})$ også er lik null når $x = - 1$ og når $x = \frac{3}{2}$ .

Vi multipliserer og får

$(x + 1) (x - \frac{3}{2}) = x^{2} - \frac{3}{2} x + x - \frac{3}{2} = x^{2} - \frac{1}{2} x - \frac{3}{2}$

Dette er ikke det samme andregradsuttrykket som vi startet med.

Vi startet med

$2 x^{2} - x - 3$

Når vi multipliserer ut parentesene, får vi

$x^{2} - \frac{1}{2} x - \frac{3}{2}$

Ser du at vi kan multiplisere det siste uttrykket med $2$ , og få det andregradsuttrykket vi startet med?

$(x^{2} - \frac{1}{2} x - \frac{3}{2}) \cdot 2 = 2 \cdot x^{2} - 2 \cdot \frac{1}{2} x - 2 \cdot \frac{3}{2} = 2 x^{2} - x - 3$

Vi har da at

$2 x^{2} - x - 3 = 2 (x + 1) (x - \frac{3}{2})$

Andregradsuttrykket er faktorisert!

Hvis vi ønsker et uttrykk uten brøk, kan vi multiplisere 2-tallet inn i den siste parentesen

$2 x^{2} - x - 3 = 2 (x + 1) (x - \frac{3}{2}) = (x + 1) (2 x - 3)$

Vi ser fort at vi må multiplisere med $2$ , fordi det siste uttrykket inneholder leddet $x^{2}$ , mens det polynomet vi startet med, inneholder leddet $2 x^{2}$ .

Den metoden vi har brukt for å faktorisere i de to eksemplene ovenfor, kalles nullpunktmetoden. Du skjønner kanskje hvorfor?

Nullpunktmetoden

$a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$

der $x_{1}$ og $x_{2}$ er løsningene av den generelle andregradslikningen $a x^{2} + b x + c = 0 .$

Utfordring!

Bevis at nullpunktmetoden gjelder generelt ved å vise at $a (x - x_{1}) (x - x_{2}) = a x^{2} + b x + c$

Når det bare finnes én løsning av andregradslikningen, er $x_{1} = x_{2}$ .
Når andregradslikningen ikke har løsninger, kan ikke uttrykket faktoriseres.

Vi faktoriserer uttrykket i eksempel 2 ved CAS i GeoGebra.

Faktorisering av andregradsuttrykket 2 x i andre minus x minus 3 med kommandoen Faktoriser i GeoGebra. Skjermutklipp. — Bilde: Olav Kristensen / CC BY-NC-SA 4.0

Ikke glem at $a$ må være med i det faktoriserte uttrykket! Hvor er det blitt av tallet $a$ foran parentesene når vi bruker CAS til å faktorisere uttrykket i eksempel 2?

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY 4.0