Fullstendige kvadrater og stirremetoden

Vi lager fullstendig kvadrat:

$$\begin{array}{rcl}& = & x^2-2x+1^2-3-1^2\\ & & \\ & =& x^2-2x+1^2-4\\ & & \\ & =& {\left(x-1\right)}^2-2^2\\ & & \\ & =& \left(\left(x-1\right)-2\right)\left(\left(x-1\right)+2\right)\\ & & \\ & =& \left(x-3\right)\left(x+1\right)\end{array}$$

Stirremetoden: Vi må finne to tall med produkt lik $$-3$$ og sum lik $$-2$$.

Det er bare tallene $$-3$$ og $$1$$ som passer: $$x^2-2x-3=\left(x-3\right)\left(x+1\right)$$

Stirremetoden: Vi må finne to tall med produkt lik $$5$$ og sum lik $$-6$$.

Det er bare tallene $$-5$$ og $$-1$$ som passer:

$$x^2-6x+5=\left(x-5\right)\left(x-1\right)$$

Vi lager fullstendig kvadrat:

$$\begin{array}{rcl}& = & x^2-6x+3^2+5-3^2\\ & & \\ & =& x^2-6x+3^2-4\\ & & \\ & =& {\left(x-3\right)}^2-2^2\\ & & \\ & =& \left(\left(x-3\right)-2\right)\left(\left(x-3\right)+2\right)\\ & & \\ & =& \left(x-5\right)\left(x-1\right)\end{array}$$

Stirremetoden: Vi må finne to tall med produkt lik $$48$$ og sum lik $$-14$$.

Det er bare tallene $$-8$$ og $$-6$$ som passer:

$$x^2-14x+48=\left(x-6\right)\left(x-8\right)$$

Vi lager fullstendig kvadrat:

$$\begin{array}{rcl}& = & x^2-14x+7^2+48-7^2\\ & & \\ & =& x^2-14x+7^2-1\\ & & \\ & =& {\left(x-7\right)}^2-1^2\\ & & \\ & =& \left(\left(x-7\right)-1\right)\left(\left(x-7\right)+1\right)\\ & & \\ & =& \left(x-8\right)\left(x-6\right)\end{array}$$

$$x^2-14x+48=\left(x-6\right)\left(x-8\right)$$

Stirremetoden: Vi må finne to tall med produkt lik $$-9$$ og sum lik $$-8$$.

Det er bare tallene $$-9$$ og $$1$$ som passer:

$$x^2-8x-9=\left(x-9\right)\left(x+1\right)$$

Vi lager fullstendig kvadrat:

$$\begin{array}{rcl}& = & x^2-8x+4^2-9-4^2\\ & & \\ & =& x^2-8x+4^2-25\\ & & \\ & =& {\left(x-4\right)}^2-5^2\\ & & \\ & =& \left(\left(x-4\right)-5\right)\left(\left(x-4\right)+5\right)\\ & & \\ & =& \left(x-9\right)\left(x+1\right)\end{array}$$