Oppgave

Vekstfaktor og prosentvis endring

Prøv å løse så mange av disse oppgavene som mulig uten hjelpemidler.

PS-20

Finn vekstfaktoren når prisen på en vare økes med

a) 10 %
b) 50 %
c) 27,5 %
d) 72 %
e) 1,53 %
f) 0,6 %

Løsning

a) Vekstfaktoren blir $1 + \frac{10}{100} = 1, 10$ .

b) Vekstfaktoren blir $1 + \frac{50}{100} = 1, 50$ .

c) Vekstfaktoren blir $1 + \frac{27, 5}{100} = 1, 275$ .

d) Vekstfaktoren blir $1 + \frac{72}{100} = 1, 72$ .

e) Vekstfaktoren blir $1 + \frac{1, 53}{100} = 1, 0153$ .

f) Vekstfaktoren blir $1 + \frac{0, 6}{100} = 1, 006$ .

PS-21

Finn vekstfaktoren når prisen på en vare settes ned med

a) 10 %
b) 50 %
c) 27,5 %
d) 7,2 %
e) 1,53 %
f) 0,6 %

Løsning

a) Vekstfaktoren blir $1 - \frac{10}{100} = 0, 90$ .

b) Vekstfaktoren blir $1 - \frac{50}{100} = 0, 50$ .

c) Vekstfaktoren blir $1 - \frac{27, 5}{100} = 0, 725$ .

d) Vekstfaktoren blir $1 - \frac{7, 2}{100} = 0, 928$ .

e) Vekstfaktoren blir $1 - \frac{1, 53}{100} = 0, 9847$ .

f) Vekstfaktoren blir $1 - \frac{0, 6}{100} = 0, 994$ .

PS-22

Hvilken prosentvis endring tilsvarer hver av vekstfaktorene nedenfor?

a) 1,50
b) 1,35
c) 0,75
d) 1,05
e) 0,96
f) 2,45

Løsning

Vekstfaktoren tilsvarer en

a) økning på 50 %
b) økning på 35 %
c) reduksjon på 25 %
d) økning på 5 %
e) reduksjon på 4 %
f) økning på 145 %

PS-23

En vare koster 500 kroner.

Hva koster varen etter at prisen er økt med 25 prosent? Bruk vekstfaktor.

Løsning

Vekstfaktoren blir $1 + \frac{25}{100} = 1, 25$ .

Ny pris på varen blir $500 kr \cdot 1, 25 = 625 kr$ .

PS-24

En vare koster 500 kroner.

a) Hva koster varen etter at prisen er satt ned med 25 prosent? Bruk vekstfaktor.

Løsning

Vekstfaktoren blir $1 - \frac{25}{100} = 0, 75$ .

Ny pris på varen blir $500 kr \cdot 0, 75 = 375 kr$ .

b) Emilie skulle løse denne oppgaven:

"Etter at en vare ble satt ned 25 prosent, ble den nye prisen 375 kroner. Hva kostet varen opprinnelig?"

Emilies løsning:

$\frac{375 kr}{100 %} \cdot 25 % = 93, 75 kr$

$375 kr + 93, 75 kr = 468, 75 kr$

Den opprinnelige prisen var 468,75 kroner.

Hvorfor er Emilies løsning feil?

Løsning

Emilie prøver først å regne ut hva 25 prosent tilsvarer. Hun prøver å gå "veien om 1" ved å dele 375 kroner på 100. Da forutsetter hun at 375 kroner tilsvarer 100 prosent, noe det ikke gjør. De 375 kronene tilsvarer det som er igjen etter at det er trukket fra 25 prosent, det vil si 75 prosent. Det er den opprinnelige prisen som tilsvarer 100 prosent.

Emilie skulle derfor ha delt på 75 i stedet for 100 i den første utregningen. Et annet alternativ er å dele tilbudsprisen med vekstfaktoren for å regne seg tilbake til opprinnelig pris:

$\frac{375 kr}{0, 75} = 500 kr$

Dette stemmer med det vi fant i oppgave a).

PS-25

En vare som kostet 1 500 kr, blir først satt opp med 12 prosent, for så å bli satt ned med 20 prosent.

a) Finn den nye prisen. Bruk vekstfaktor.

Løsning

En økning på 12 prosent gir vekstfaktoren 1,12.

Et avslag på 20 prosent gir vekstfaktoren 0,80.

Den nye prisen på varen blir

$1 500 kr \cdot 1, 12 \cdot 0, 80 = 1 344 kr$

b) Hvor mange prosent er disse to endringene sett under ett?

Løsning

Vi må finne vekstfaktoren for den totale endringen.

Vekstfaktoren – alternativ 1

Vi regner ut vekstfaktoren ved å dele den nye verdien på den opprinnelige verdien.

$\frac{1 344 kr}{1 500 kr} = 0, 896$

Vekstfaktoren – alternativ 2

Hvis vi multipliserer sammen de to vekstfaktorene i oppgave a), vil vi få ett tall som vil være vekstfaktor for prisendringen fra 1 500 kroner til 1 344 kroner.

$1, 12 \cdot 0, 8 = 0, 896$

Merk at med alternativ 2 trenger vi ikke kjenne prisene for å regne ut den totale prosentvise endringen.

Når vekstfaktoren er 0,896, er det totalt sett en prosentvis nedgang. Vi kan finne prosenten ved å løse likningen

$0, 896 = 1 - \frac{p}{100}$

Vi kan løse likningen med manuell regning. Dersom vi bruker CAS i GeoGebra, får vi

CAS-vinduet i GeoGebra, to linjer. På linje 1 er det skrevet 0,896 er lik 1 minus p delt på 100. Svaret med "Løs" er p er lik 52 femdeler. På linje 2 er det skrevet dollartegn 1. Svaret med tilnærming er p er lik 10,4. Skjermutklipp. — Bjarne Skurdal

Totalt sett har prisen på varen blitt redusert med 10,4 prosent.

I linje 2 i CAS har vi skrevet $1 og trykket på knappen $\approx_{}^{}$ for å få resultatet i første linje skrevet som et desimaltall.

c) Forklar hvorfor vi ikke finner den totale prosentvise endringen ved å regne direkte med prosentene slik: $12 % - 20 % = - 8 %$ .

Løsning

Vi kan ikke regne direkte med prosentene fordi de ikke regnes av samme tall. De 20 prosentene i prisreduksjon regnes ikke av den opprinnelige prisen.

PS-26

Prisen for en vare som kostet 1 500 kroner blir først satt ned med 12 prosent, for så å bli satt opp med 20 prosent.

a) Finn den nye prisen. Bruk vekstfaktor.

Løsning

Et avslag på 12 prosent gir vekstfaktoren 0,88.

En prisøkning på 20 prosent gir vekstfaktoren 1,20.

Den nye prisen på varen blir

$1 500 kr \cdot 0, 88 \cdot 1, 20 = 1 584 kr$

b) Hvor mange prosent har prisen blitt satt opp i alt?

Løsning

Vekstfaktoren for hele endringen er $\frac{1 584 kr}{1 500 kr} = 1, 056$ .

I stedet for å finne prosenten ved å løse likning kan vi regne manuelt slik: $1, 056 - 1 = 0, 056$ . Dette er desimaltallet som tilsvarer prosenten for prisoppgangen. Prosenten er derfor $0, 056 \cdot 100 % = 5, 6 %$ .

Prisøkningen er på 5,6 prosent.

Alternativt kan vi regne ut den totale vekstfaktoren som produktet av de to vekstfaktorene.

$0, 88 \cdot 1, 20 = 1, 056$

c) Forklar hvorfor vi ikke finner den totale prosentvise endringen ved å regne direkte med prosentene slik: $20 % - 12 % = 8 %$ .

Løsning

Vi kan ikke regne direkte med prosentene fordi de ikke regnes av samme tall. De 20 prosentene i prisøkning regnes ikke av den opprinnelige prisen.

PS-27

En vare som kostet 900 kroner, blir først satt ned med 10 prosent, for så å bli satt ned med ytterligere 5 prosent.

a) Finn den nye prisen. Bruk vekstfaktor.

Løsning

Et avslag på 10 prosent gir vekstfaktoren 0,90.

Et avslag på 5 prosent gir vekstfaktoren 0,95.

Den nye prisen på varen blir

$900 kr \cdot 0, 90 \cdot 0, 95 = 769, 50 kr$ .

b) Hvor mange prosent har prisen blitt satt ned i alt?

Løsning

Vekstfaktoren for hele endringen er $\frac{769, 50 kr}{900 kr} = 0, 855$ .

I stedet for å finne prosenten ved å løse likning, kan vi regne manuelt slik:

$1 - 0, 855 = 0, 145$

Dette er desimaltallet som tilsvarer prosenten for prisnedsettelsen. Prosenten er derfor $0, 145 \cdot 100 % = 14, 5 %$ .

Prisen er i alt satt ned med 14,5 prosent.

Alternativt kan vi regne ut den totale vekstfaktoren av produktet av de to vekstfaktorene.

$0, 90 \cdot 0, 95 = 0, 855$

PS-28

En genser kostet først 800 kroner. Så ble prisen satt opp til 900 kroner. Senere ble det salg, og prisen ble satt ned med 20 prosent.

Hvor mange prosent var den totale endringen?

Løsning

Vi kan løse oppgaven uten å finne prisen etter at genseren kom på salg. Med CAS i GeoGebra kan det se slik ut.

CAS-vinduet i GeoGebra. På linje 1 er det skrevet 900 delt på 800. Svaret er 9 åttedeler. På linje 2 er det skrevet 9 åttedeler multiplisert med 0,8. Svaret er 9 tideler. På linje 3 er det skrevet 1 minus p delt på 100 er lik 9 tideler. Svaret med "Løs" er p er lik 10. Skjermutklipp. — Bjarne Skurdal

Kan du forklare hva som er gjort på hver linje?

På linje 1 er forholdet mellom prisen etter den første endringen og den opprinnelige prisen regnet ut. Dette gir vekstfaktoren for den første endringen.

På linje 2 er vekstfaktoren for den første endringen multiplisert med vekstfaktoren for den andre endringen for å finne vekstfaktoren for den totale endringen.

På linje 3 løser vi en likning for å finne vekstfaktoren.

Totalt sett har prisen på genseren gått ned med 10 prosent (fra den opprinnelige prisen på 800 kroner).

PS-29

a) Hvor mange prosent øker et tall dersom det dobler seg?

Løsning

Når et tall dobler seg, øker det med like mye som seg selv, det vil si 100 prosent.

b) Hva blir vekstfaktoren i oppgave a)?

Løsning

En dobling betyr at vi multipliserer med 2. Dette må derfor også være vekstfaktoren. Vi kontrollerer svaret ved å bruke formelen for vekstfaktoren:

$1 + \frac{100}{100} = 1 + 1 = 2$

c) Hva blir vekstfaktoren hvis et tall halveres?

Løsning

En halvering må bety at tallet multipliseres med $\frac{1}{2}$ , som da blir vekstfaktoren.

d) Hvor mange prosent større blir et tall dersom vekstfaktoren er 8?

Løsning

Vi kan sette opp en likning ut ifra formelen for vekstfaktoren.

$\begin{array}{rcl} 1 + \frac{p}{100} & = & 8 \\ \frac{p}{100} & = & 7 \\ p & = & 700 \end{array}$

Tallet blir 700 prosent større.

e) Hva blir vekstfaktoren når noe øker med 600 prosent?

Løsning

Vekstfaktoren blir

$1 + \frac{600}{100} = 1 + 6 = 7$

Dette så du kanskje uten å måtte regne det ut ved å sammenlikne med oppgave d)?

Sist faglig oppdatert 13.05.2022

Skrevet av Stein Aanensen, Olav Kristensen og Bjarne Skurdal

Vekstfaktor og prosentvis endring

PS-20

PS-21

PS-22

PS-23

PS-24

PS-25

PS-26

PS-27

PS-28

PS-29

Læringsressurser

Andre NDLA-nettsteder