Fullstendige kvadraters metode
Fullstendige kvadrater
Et fullstendig kvadrat er et andregradsuttrykk som vi kan faktorisere direkte ved hjelp av første eller andre kvadratsetning.
For eksempel er uttrykkene og fullstendige kvadrater fordi
Vi bruker ofte bokstavene a og b både i kvadratsetningene og i den generelle formelen for andregradsuttrykk. Det kan komplisere føringen, så vi velger her å bruke andre bokstaver for enkelhelts skyld. Da får vi kvadratsetningene på følgende form:
Å gjenkjenne et fullstendig kvadrat
Det er ikke alltid så lett å se med en gang om et andregradsuttrykk på formen
Vi ser at andregradsleddet og konstantleddet er positivt.
Vi setter
ogk = x 2 = x .p = 9 = 3 Vi må sjekke om det midterste leddet kan skrives som
. I dette tilfellet får vi at2 k p , noe som stemmer med kravet.2 k p = 2 · x · 3 = 6 x Kravene i punktene 1 og 3 er oppfylt, dermed har vi at
x 2 - 6 x + 9 = k - p 2 = x - 3 2
Trinnvis framgangsmåte
Vi skal sjekke om uttrykket
Vi sjekker om andregradsleddet og konstantleddet er positivt.
Vi setter
ogk = a x 2 = a x .p = c Vi sjekker om førstegradsleddet, bx , kan skrives som
.2 k p = 2 a · x · c = 2 a c · x Hvis kravene i punktene 1 og 3 er oppfylt, har vi et fullstendig kvadrat, og vi kan skrive uttrykket slik:
a x 2 + b x + c = k + p 2
Fullstendige kvadraters metode
Det er få andregradsuttrykk som er fullstendige kvadrater, men det er mulig å faktorisere andregradsuttrykk ved å lage et fullstendig kvadrat av de to første leddene og så bruke konjugatsetningen. Det er som oftest enklere å bruke andre metoder for å faktorisere andregradsuttrykk, men metoden er likevel viktig som et grunnlag for å forstå mer om andregradsuttrykk, andregradslikninger og senere også likninger for sirkler og kuler.
Vi viser metoden ved å gå gjennom et eksempel.
Vi skal faktorisere andregradsuttrykket
Vi legger først konstantleddet litt til side og konsentrerer oss om de to første leddene i uttrykket,
Vi setter
Dette betyr at vi må legge til
Uttrykket
Her får vi
Trinnvis framgangsmåte
Vi skal faktorisere uttrykket
Vi setter
.k = a x 2 = a x Så setter vi
og regner ut p.b x = 2 k p = 2 a x · p Vi legger til
for å fullføre kvadratet og trekker frap 2 igjen.p 2 Vi skriver de tre første leddene som
og trekker sammen konstantleddene.k + p 2 Til slutt faktoriserer vi ved hjelp av konjugatsetningen.
🤔 Tenk over: Dersom koeffisienten a til
Forklaring
I et slikt tilfelle har vi at