Aritmetiske og geometriske rekker

Vi skriver summen av rekka på to måter:

$$ \begin{array}{rcl}{S}_n & =& a_1+a_2+...+a_{n-1}+a_n\\ S_n & =& a_n+a_{n-1}+...+a_2+a_1\end{array}$$

Vi legger sammen de to venstresidene og de to høyresidene:

$$ \begin{array}{rcl}{S}_n+S_n & =& a_1+a_2+...+a_{n-1}+a_n+a_n+a_{n-1}+...+a_2+a_1\\ 2S_n & =& \left(a_1+a_n\right)+\left(a_2+a_{n-1}\right)+...+\left(a_{n-1}+a_2\right)+\left(a_n+a_1\right)\end{array}$$

Vi observerer at summen inne i alle parentesene er den samme, altså at vi har

$$ \left(a_1+a_n\right)+\left(a_2+a_{n-1}\right)+...+\left(a_{n-1}+a_2\right)+\left(a_n+a_1\right)=n\left(a_1+a_n\right)$$

Dette betyr at vi kan utlede formelen ferdig slik:

$$ \begin{array}{rcl}2S_n & =& n\left(a_1+a_n\right)\\ S_n & =& n·\frac{\left(a_1+a_n\right)}{2}\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}{S}_n & =& a_1+a_2+a_3+...+a_{n-1}+a_n\\ & =& a_1+a_1·k+a_1·k^2+...+a_1·k^{n-2}+a_1·k^{n-1}\end{array}$$

Vi multipliserer hver side av likhetstegnet med $$ k$$:

$$ \begin{array}{rcl}k·S_n & =& k·\left(a_1+a_2+a_3+...+a_{n-1}+a_n\right)\\ & =& k·\left(a_1+a_1·k+a_1·k^2+...+a_1·k^{n-2}+a_1·k^{n-1}\right)\\ & =& a_1· k+a_1·k^2++...a_1·k^{n-2}+a_1·k^{n-1}+a_1·k^n\end{array}$$

Vi finner så differansen  $$ k·S_n-S_n$$:

$$ \begin{array}{lcl}k·S_n-S_n & =& a_1·k+a_1·k^2+...+a_1·k^{n-2}+a_1·k^{n-1}+a_1·k^n\\ & & -(a_1+a_1·k+a_1·k^2+...+a_1·k^{n-2}+a_1·k^{n-1})\\ & =& \cancel{ a_1·k}+\cancel{a_1·k^2}+...+\cancel{a_1·k^{n-2}}+\cancel{a_1·k^{n-1}}+a_1·k^n\\ & & -a_1-\cancel{a_1·k}-\cancel{a_1·k^2-...}-\cancel{a_1·k^{n-2}}-\cancel{a_1·k^{n-1}}\end{array}$$Dette gir videre

$$ \begin{array}{rcl}k·S_n-S_n & =& a_1·k^n-a_1\\ s_n(k-1) & =& a_1(k^n-1)\\ S_n & =& a_1·\frac{k^n-1}{k-1}\end{array}$$

Vi bruker den generelle formelen for $$ a_n$$ i ei aritmetisk rekke:

$$ \begin{array}{rcl}{a}_n & =& a_1+d(n-1)\\ & =& 1+6(n-1)\\ & =& 1+6n-6\\ & =& 6n-5\end{array}$$

Vi løser for hånd:

$$ \begin{array}{rcl}{S}_n & =& n·\frac{a_1+a_n}{2}\\ & =& n·\frac{1+6n-5}{2}\\ & =& n· \frac{6n-4}{2}\\ & =& n·(3n-2)\\ & =& 3n^2-2n\end{array}$$

Vi kan også bruke GeoGebra:

Vi setter inn 100 for $$ n$$:

$$ \begin{array}{rcl}{S}_{100} & =& 3·{100}^2-2·100\\ & =& 3·10 000-200\\ & =& 30 000-200\\ & =& 29 800\end{array}$$

Vi har at hvert ledd er dobbelt så stort som det forrige, altså er  $$ a_n=a_{n-1}·2$$. Det betyr at vi har ei geometrisk rekke der  $$ a_1=2$$  og  $$ k=2$$.

$$ \begin{array}{rcl}{a}_n & =& a_1·k^{n-1}\\ & =& 2·2^{n-1}\\ & =& 2^n\end{array}$$

Vi må undersøke om vi får heltallig $$ n$$ dersom vi setter formelen for $$ a_n$$ lik 128 og 192. Siden  $$ a_n=2^n$$, må vi undersøke om tallene er en toerpotens:

$$ \begin{array}{rcl}128 & =& 2·64\\ & =& 2·2·32\\ & =& 2·2·2·16\\ & =& 2·2·2·2·8\\ & =& 2·2·2·2·2·4\\ & =& 2·2·2·2·2·2·2\\ & =& 2^7\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}192 & =& 2·96\\ & =& 2·2·48\\ & =& 2·2·2·24\\ & =& 2·2·2·2·12\\ & =& 2·2·2·2·2·6\\ & =& 2·2·2·2·2·2·3\\ & =& 2^6·3\end{array}$$

Vi ser her at 128 er et ledd i rekka, mens 192 ikke er det.

Vi bruker formelen for sum av geometrisk rekke:

$$ \begin{array}{rcl}{S}_n & =& a_1·\frac{k^n-1}{k-1}\\ & =& 2·\frac{2^n-1}{2-1}\\ & =& 2(2^n-1)\\ & =& 2^{n+1}-2\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}{S}_n & =& 126\\ 2^{n+1}-2 & =& 126\\ 2^{n+1} & =& 128\\ 2·2^n & =& 128\\ 2^n & =& 64\\ 2^n & =& 2^6\\ n & =& 6\end{array}$$

Vi må først finne $$ a_1$$:

$$ \begin{array}{rcl}{a}_3 & =& a_1·k^2\\ 4 & =& a_1·4^2\\ a_1 & =& \frac{4}{4^2}\\ a_1 & =& \frac{1}{4}\\ & & \end{array}$$

Så finner vi formelen for $$ a_n$$:

$$ \begin{array}{rcl}{a}_n & =& a_1·k^{n-1}\\ & =& \frac{1}{4}·4^{n-1}\\ & =& 4^{-1}·4^{n-1}\\ & =& 4^{n-2}\end{array}$$

Vi bruker CAS:

Vi løser først digitalt, i CAS:

Deretter løser vi for hånd:

$$ \begin{array}{rcl}{S}_n & =& a_1·\frac{k^n-1}{k-1}\\ & =& \frac{1}{4}·\frac{4^n-1}{4-1}\\ & =& \frac{1}{4}·\frac{4^n-1}{3}\\ & =& \frac{1}{12}·\left(4^n-1\right)\end{array}$$

Vi deler hvert ledd på det foregående:

$$ \begin{array}{rcl}\frac{a_4}{a_3} & =& \left(-\frac{64}{9}\right):\frac{16}{3}=-\frac{64·3}{9·16}=-\frac{4}{3}\\ \frac{{\displaystyle a_3}}{{\displaystyle a_2}} & =& \frac{{\displaystyle 16}}{{\displaystyle 3}}:\left(-4\right)=-\frac{{\displaystyle 16}}{{\displaystyle 3·4}}=-\frac{{\displaystyle 4}}{{\displaystyle 3}}\\ \frac{{\displaystyle a_2}}{{\displaystyle a_1}} & =& \frac{(-4)}{3}=-\frac{4}{3}\end{array}$$

Vi ser at forholdet er konstant, og vi har at  $$ k=-\frac{4}{3}$$.

$$ \begin{array}{rcl}{a}_n & =& a_1·k^{n-1}\\ & =& 3·{\left(-\frac{4}{3}\right)}^{n-1}\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}{S}_n & =& a_1·\frac{k^n-1}{k-1}\\ & =& 3·\frac{{\left(-{\displaystyle \frac{4}{3}}\right)}^n-1}{\left(-{\displaystyle \frac{4}{3}}\right)-1}\\ & =& 3·\frac{{\left(-{\displaystyle \frac{4}{3}}\right)}^n-1}{-{\displaystyle \frac{7}{3}}}\\ & =& 3·\left(-\frac{3}{7}\right)·\left({\left(-\frac{4}{3}\right)}^n-1\right)\\ & =& -\frac{9}{7}·\left({\left(-\frac{4}{3}\right)}^n-1\right)\end{array}$$

Vi bruker formelen for sum av aritmetisk rekke og finner $$ a_{10}$$:

$$ \begin{array}{rcl}{S}_{10} & =& 10·\frac{a_1+a_{10}}{2}\\ 230 & =& 10·\frac{5+a_{10}}{2}\\ \frac{230}{5} & =& 5+a_{10}\\ a_{10} & =& 46-5\\ a_{10} & =& 41\end{array}$$

Så bruker vi den generelle formelen for $$ a_n$$ i ei aritmetisk rekke og finner $$ d$$:

$$ \begin{array}{rcl}{a}_{10} & =& a_1+9d\\ 41 & =& 5 + 9d\\ 9d & =& 36\\ d & =& 4\end{array}$$

Dette gir

$$ \begin{array}{rcl}{a}_n & =& a_1 + d(n-1)\\ & =& 5+4(n-1)\\ & =& 5+4n-4\\ & =& 4n+1\end{array}$$

Vi begynner med å uttrykke $$ a_5$$ ved $$ a_1$$:

$$ \begin{array}{rcl}{a}_5 & =& a_1 + 4d\\ & =& a_1+4·8\\ & =& a_1 +32\end{array}$$

Så bruker vi formelen for sum av aritmetisk rekke:

$$ \begin{array}{rcl}{S}_5 & =& 5·\frac{a_1+a_5}{2}\\ 135 & =& 5·\frac{a_1+a_1+32}{2}\\ 27 & =& \frac{2a_1+32}{2}\\ 27 & =& a_1+16\\ a_1 & =& 27-16=11\end{array}$$

Vi får følgende formel for $$ a_n$$:

$$ \begin{array}{rcl}{a}_n & =& a_1+d(n-1)\\ & =& 11+8(n-1=\\ & =& 8n+3\end{array}$$

Vi bruker formelen for sum av geometrisk rekke og finner $$ a_1$$:

$$ \begin{array}{rcl}{S}_6 & =& a_1·\frac{k^6-1}{k-1}\\ \frac{63}{4} & =& a_1·\frac{2^6-1}{2-1}\\ \frac{63}{4} & =& 63a_1\\ a_1 & =& \frac{1}{4}\end{array}$$

Vi finner den eksplisitte formelen:

$$ \begin{array}{rcl}{a}_n & =& \frac{1}{4}·2^{n-1}\\ & =& 2^{-2}·2^{n-1}\\ & =& 2^{n-3}\end{array}$$

Vi har her ei aritmetisk rekke fordi differansen mellom hvert ledd er lik.

$$ \begin{array}{rcl}15-11 & =& 4\\ 11-7 & =& 4\\ 7-3 & =& 4\end{array}$$

Vi har at  $$ a_1=3$$  og at  $$ d=4$$. Vi får da

$$ \begin{array}{rcl}{a}_n & =& a_1+d(n-1)\\ & =& 3+4(n-1)\\ & =& 3+4n-4\\ & =& 4n-1\end{array}$$

Vi setter den eksplisitte formelen for $$ a_n$$ lik 79:

$$ \begin{array}{rcl}4n-1 & =& 79\\ 4n & =& 80\\ n & =& \frac{80}{4}\\ n & =& 20\end{array}$$

For hånd:

Vi finner et generelt uttrykk for $$ S_n$$ og setter dette lik 78:

$$ \begin{array}{rcl}{S}_n & =& n·\frac{a_1+a_n}{2}\\ & =& n·\frac{3+4n-1}{2}\\ & =& n·\frac{4n+2}{2}\\ & =& n(2n+1)\\ & =& 2n^2+n\\ & & \\ & & \\ S_n & =& 78\\ 2n^2+n & =& 78\\ 2n^2+n-78 & =& 0\\ n & =& \frac{-1\pm \sqrt{1^2-4·2·78}}{2·2}\\ & =& \frac{-1\pm \sqrt{1+624}}{4}\\ & =& \frac{-1\pm 25}{4}\end{array}$$

$$ n=\frac{-1-25}{4}=\frac{-26}{4}=-6,5 \wedge n=\frac{-1+25}{4}=\frac{24}{4}=6$$

Vi må ha hele, positive løsninger, så dermed er  $$ n=6$$  når summen er 78.

I CAS:

I Python:

1a_n = 3
2d = 4
3n = 1
4sum = 3
5
6while sum != 78:
7    a_n = a_n + d
8    sum = sum + a_n
9    n = n+1
10
11print(f"Summen er lik 78 når n er lik {n}.")

Vi har her valgt å bygge videre på det programmet vi har lagd som legger alle leddene i rekka inn i ei liste Så sjekker vi om våre tall ligger i den lista. Vi skal både undersøke om tallet er et ledd i rekka, og i så fall hvilket nummer det er. Vi legger tallene vi skal sjekke, i ei egen liste. Først finner vi alle tallene som er ledd i rekka, og skriver ut dem, så skriver vi ut de tallene som ikke er ledd i rekka.

1a_n = 3
2d = 4
3n = 1
4Leddene = [3]
5Tallene = [79,97,171,779,997,1711,7799,9870]
6
7while a_n < 10000:
8    a_n = a_n + d
9    Leddene.append(a_n)
10
11for i in range(len(Leddene)):
12    if Leddene[i] in Tallene:
13        print(f"{Leddene[i]} er tall nummer {i+1} i rekka.")
14
15for i in range (len(Tallene)):
16    if Tallene[i] not in Leddene:
17        print(f"{Tallene[i]} er ikke et tall i rekka.")

Husk at dette er én måte å gjøre det på. Gjorde du det på en annen måte? Hvis det virket, er det supert! Man kan for eksempel velge å undersøke om den eksplisitte formelen for $$ a_n$$ gir heltallige $$ n$$.

Her utvider vi programmet fra den forrige oppgaven og lager ei egen liste med summene. Så undersøker vi dem på samme måte.

1a_n = 3
2d = 4
3n = 1
4sum = 3
5Leddene = [3]
6Tallene = [79,97,171,779,997,1711,7799,9870]
7Summene = [3]
8
9while a_n < 10000:
10    a_n = a_n + d
11    Leddene.append(a_n)
12    sum = sum + a_n
13    Summene.append(sum)
14
15for i in range(len(Leddene)):
16    if Leddene[i] in Tallene:
17        print(f"{Leddene[i]} er tall nummer {i+1} i rekka.")
18
19for i in range (len(Tallene)):
20    if Tallene[i] not in Leddene:
21        print(f"{Tallene[i]} er ikke et tall i rekka.")
22
23for i in range(len(Leddene)):
24     if Summene[i] in Tallene:
25        print(f"Summen er {Summene[i]} hvis det er {i+1} ledd i rekka.")
26        
27for i in range (len(Tallene)):
28    if Tallene[i] not in Summene:
29        print(f"Summen kan ikke bli {Tallene[i]}.")

Igjen: Gjorde du det på en annen måte? Kanskje mer effektivt? Så bra!

Vi må først finne den eksplisitte formelen for rekka:

$$\begin{gathered} a_n = a_1·k^{n-1} \\ = 6·3^{n-1} \end{gathered}$$

Så kan vi lage følgende program:

1a_n = 0
2Sum = 0
3antall = 0
4Leddene = ["a_n"]
5Summene = ["S_n"]
6
7for n in range(1,51):
8    antall = antall+1
9    a_n = 6*3**(n-1)
10    Sum = Sum + a_n
11    Leddene.append(a_n)
12    Summene.append(Sum)
13
14for i in range(0,51):
15        print(f"{Leddene[i]:<27}{Summene[i]:<27}")

Koden i linje 15 er for å få fine kolonner. Du kan velge å erstatte linjene 14 og 15 med print(Leddene) og print(Summene) hvis du ikke trenger en pen utskrift.

Her må vi først hente inn tallet brukeren vil undersøke. Så må vi gå gjennom listene våre, sjekke om tallet er i noen av dem og skrive ut resultatet.

1a_n = 0
2Sum = 0
3antall = 0
4Leddene = ["a_n"]
5Summene = ["S_n"]
6
7for n in range(1,51):
8    antall = antall+1
9    a_n = 6*3**(n-1)
10    Sum = Sum + a_n
11    Leddene.append(a_n)
12    Summene.append(Sum)
13 
14tallet = int(input("Hvilket tall vil du sjekke?"))
15
16for i in range(len(Leddene)):
17    if tallet == Leddene[i]:
18        print(f"{tallet} er ledd nummer {i} i rekka.")
19    if tallet == Summene[i]:
20        print(f"{tallet} er summen av de {i} første leddene i rekka.")
21
22if tallet not in Leddene:
23    print(f"{tallet} er ikke et ledd i rekka.")
24if tallet not in Summene:
25    print(f"{tallet} kan ikke være en sum av denne rekka.")

Når vi bare kjenner to ledd i rekka, vet vi ikke nok om mønsteret til å si sikkert hva slags rekke vi har med å gjøre.

Det kan være ei aritmetisk rekke, da finner vi differansen slik:

$$ \begin{array}{rcl}{a}_8 & =& a_5+3d\\ 64 & =& 8 +3d\\ 56 & =& 3d\\ d & =& \frac{56}{3}\end{array}$$

Eller det kan være en geometrisk følge, da finner vi kvotienten slik:

$$ \begin{array}{rcl}{a}_8 & =& a_5·k^3\\ 64 & =& 8·k^3\\ k & =& \sqrt[3]{\frac{64}{8}}=2\end{array}$$

Hvis det er ei aritmetisk rekke:

$$ \begin{array}{rcl}{a}_1 & =& a_5-4d\\ & =& 8-4·\frac{56}{3}\\ & =& \frac{24}{3}-\frac{224}{3}\\ & =& -\frac{200}{3}\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}{a}_n & =& a_1 + d(n-1)\\ & =& -\frac{200}{3}+\frac{56}{3}(n-1)\\ & =& -\frac{200}{3}+\frac{56}{3}n-\frac{56}{3}\\ & =& \frac{56}{3}n-\frac{256}{3}\\ & =& \frac{1}{3}\left(56n-256\right)\end{array}$$

Hvis det er ei geometrisk rekke:

$$ \begin{array}{rcl}{a}_5 & =& a_1·k^4\\ 8 & =& a_1·2^4\\ a_1 & =& \frac{8}{16}=\frac{1}{2}\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}{a}_n & =& a_1·k^{n-1}\\ & =& \frac{1}{2}·2^{n-1}\\ & =& 2^{n-2}\end{array}$$

Vi finner først en formel for $$ S_n$$:

$$ \begin{array}{rcl}{S}_n & =& a_1·\frac{k^n-1}{k-1}\\ & =& \frac{1}{2}·\frac{2^n-1}{2-1}\\ & =& \frac{1}{2}·\left(2^n-1\right)\end{array}$$

Så setter vi uttrykket lik 551,5:

$$ \begin{array}{rcl}\frac{1}{2}(2^n-1) & =& 511,5\\ 2^n-1 & =& 1023\\ 2^n & =& 1024\\ 2^n & =& 2^{10}\\ n & =& 10\end{array}$$

Vi finner $$ S_{10}$$ i den aritmetiske rekka:

$$ \begin{array}{rcl}{S}_{10} & =& 10·\frac{a_1+a_{10}}{2}\\ & =& 5(a_1+a_{10})\\ & =& 5(-\frac{200}{3}+\frac{56}{3}·10-\frac{256}{3})\\ & =& \frac{5}{3}(-200+560-256)\\ & =& \frac{5·104}{3}\\ & =& \frac{520}{3}\end{array}$$