Oppgave

Pytagoras’ setning

Oppgave 2.4.3 og 2.4.6 bør du jobbe med uten hjelpemidler.

2.4.1

Finn lengden av siden $b$ i den rettvinkla trekanten $A B C$ nedenfor.

Rettvinkla trekant ABC der A B er 5,0 centimeter, B C er 3,0 cm og vinkel B er 90 grader. Illustrasjon. — Bilde: Stein Aanensen, Olav Kristensen / CC BY-SA 4.0

Vis fasit

Vi bruker Pytagoras´ læresetning.

$\begin{array}{rcl} b^{2} & = & 5, 0^{2} + 3, 0^{2} \\ = & 34 \\ b & = & 5, 8 \end{array}$

Løst med CAS i GeoGebra:

$\begin{array}{rcl} b^{2} = 5 . 0^{2} + 3 . 0^{2} \\ 1 \\ NLøs : {b = - 5.83, b = 5.83} \end{array}$

Lengden av siden $b$ er ca. 5,8 cm.

2.4.2

Finn lengden $B C$ i den rettvinkla trekanten $A B C$ nedenfor.

Rettvinkla trekant ABC der A B er 5,0 centimeter, A C er 5,0 centimeter og vinkel A er 90 grader. Illustrasjon. — Bilde: Stein Aanensen, Olav Kristensen / CC BY-SA 4.0

Vis fasit

Vi bruker Pytagoras´ læresetning.

$\begin{array}{rcl} B C^{2} & = & 5, 0^{2} + 5, 0^{2} \\ = & 50 \\ B C & = & 7, 1 \end{array}$

Løst med CAS i GeoGebra:

$\begin{array}{rcl} {BC}^{2} = 5 . 0^{2} + 5 . 0^{2} \\ 1 \\ NLøs : {BC = - 7.07, BC = 7.07} \end{array}$

Lengden $B C$ er ca. 7,1 cm.

2.4.3

Figuren viser grunnflaten til en garasje. Regn ut lengden av diagonalen $B C$ .

Rektangel ABCD der A B er 6,0 meter og A C er 8,0 meter. Rektangelet er en tegning av en garasje. Illustrasjon. — Tegning av garasje. Bilde: Stein Aanensen, Olav Kristensen / CC BY-SA 4.0

Vis fasit

Vi bruker Pytagoras´ læresetning.

$\begin{array}{rcl} B C^{2} & = & 6, 0^{2} + 8, 0^{2} \\ B C^{2} & = & 36 + 64 \\ B C^{2} & = & 100 \\ B C & = & \sqrt{100} \\ B C & = & 10, 0 \end{array}$

Diagonalen $B C$ er 10,0 m.

2.4.4

Mål lengden og bredden av pulten du sitter ved.
Bruk Pytagoras’ læresetning og regn ut lengden av diagonalen på pulten din.
Sjekk om du har regnet riktig ved å måle diagonalen.

2.4.5

Sjekk om det er riktig at trekanten nedenfor er rettvinklet.

Likebeint trekant ABC der A B og A C er 4,0 meter og B C er 5,5 meter. Illustrasjon. — Bilde: Stein Aanensen, Olav Kristensen / CC BY-SA 4.0

Vis fasit

Vi bruker Pytagoras´ læresetning og sjekker om lengden av hypotenusen $B C$ blir 5,5 m.

$\begin{array}{rcl} B C^{2} & = & 4, 0^{2} + 4, 0^{2} \\ = & 32 \\ B C & = & 5, 7 \end{array}$

Løst med CAS i GeoGebra:

$\begin{array}{rcl} {BC}^{2} = 4 . 0^{2} + 4 . 0^{2} \\ 1 \\ NLøs : {BC = - 5.66, BC = 5.66} \end{array}$

Diagonalen $B C$ må være ca. 5,7 m for at trekanten skal være rettvinklet. Trekanten på figuren er derfor ikke rettvinklet.

2.4.6

Regn ut lengden $A B$ i den rettvinkla trekanten $A B C$ nedenfor.

Rettvinkla trekant ABC der A C er 6,0 desimeter, B C er 10,0 desimeter og vinkel A er 90 grader. Illustrasjon. — Bilde: Stein Aanensen, Olav Kristensen / CC BY-SA 4.0

Vis fasit

Vi bruker Pytagoras´ læresetning.

$\begin{array}{rcl} {hypotenus}^{2} & = & {katet}^{2} + {katet}^{2} \\ {katet}^{2} & = & {hypotenus}^{2} - {katet}^{2} \\ A B^{2} & = & 10, 0^{2} - 6, 0^{2} \\ A B^{2} & = & 100 - 36 \\ A B & = & 64 \\ A B & = & \sqrt{64} \\ A B & = & 8, 0 \end{array}$

Lengden $A B$ er 8,0 dm.

2.4.7

I en rettvinkla trekant er hypotenusen 5,15 cm lang og den ene kateten 2,50 cm lang. Regn ut lengden av den andre kateten.

Vis fasit

Vi bruker Pytagoras´ læresetning.

$\begin{array}{rcl} {Katet}^{2} + 2, 50^{2} & = & 5, 15^{2} \end{array}$

Løst med CAS i GeoGebra:

$\begin{array}{rcl} {Katet}^{2} + 2 . 50^{2} = 5 . 15^{2} \\ 1 \\ NLøs : {Katet = - 4.5, Katet = 4.5} \end{array}$

Lengden av den andre kateten er ca. 4,50 cm.

2.4.8

Trekanten $A B C$ nedenfor er likebeint. $A C$ er 6,75 m og $A B$ er 10,80 m. Finn høyden $h$ fra C ned på AB.

Likebeint trekant ABC der A C og B C er 6,75 meter og A B er 10,80 meter. Illustrasjon. — Bilde: Stein Aanensen, Olav Kristensen / CC BY-SA 4.0

Vis fasit

Vi bruker Pytagoras' læresetning på halvparten av trekanten ABC.

$\begin{array}{rcl} h^{2} + {(\frac{10, 8}{2})}^{2} & = & 6, 75^{2} \end{array}$

Løst med CAS i GeoGebra:

$\begin{array}{rcl} h^{2} + {(\frac{10.8}{2})}^{2} = 6 . 75^{2} \\ 1 \\ NLøs : {h = - 4.05, h = 4.05} \end{array}$

(Her er det lurt å bruke parentes når du skal skrive inn likningen.)

Høyden $h$ er ca. 4,05 m.

2.4.9

Firkant. Illustrasjon. — Bilde: Olav Kristensen, Stein Aanensen / CC BY-SA 4.0

Gitt firkanten $A B C D$ . $∠ A C D = ∠ A D C,$ $∠ B A C = ∠ A B C, A E$ står normalt på $C D$ og $∠ A C B = 90 °$ . Diagonalen $A C = 4, 2 cm$ og høyden $A E = 3, 9 cm$ .

a) Finn lengden av $A D$ og $B C$ .

Vis fasit

Opplysningene om vinklene viser at trekantene $A B C$ og $A C D$ er likebente. Da er $A D = B C = A C = 4, 2 cm$

b) Finn lengden av $A B$ og $C D$ .

Vis fasit

Bruker Pytagoras til å bestemme lengden av $A B$ .

Løser i GeoGebra:

$\begin{array}{rcl} {AB}^{2} = 4 . 2^{2} + 4 . 2^{2} \\ 1 \\ NLøs : {AB = - 5.9, AB = 5.9} \end{array}$

$A B = 5, 9 cm$

Bruker Pytagoras til å bestemme lengden av $C D$ :

$\begin{array}{rcl} {ED}^{2} = 4 . 2^{2} - 3 . 9^{2} \\ 1 \\ NLøs : {ED = - 1.6, ED = 1.6} \end{array}$ $\begin{array}{rcl} CD = 2 \cdot 1.6 \\ 2 \\ NLøs : {CD = 3.2} \end{array}$

$C D = 3, 2 cm$

c) Finn arealet av firkanten $A B C D$ .

Vis fasit

Finner arealet av firkanten som summen av arealene av de to trekantene:

Løser i GeoGebra:

$\begin{array}{rcl} Areal = \frac{1}{2} \cdot 4.2 \cdot 4.2 + \frac{1}{2} \cdot 3.2 \cdot 3.9 \\ 1 \\ NLøs : {Areal = 15.1} \end{array}$

Arealet er $15 {cm}^{2}$ .

2.4.1

2.4.2

2.4.3

2.4.4

2.4.5

2.4.6

2.4.7

2.4.8

2.4.9

Regler for bruk av teksten "Pytagoras’ setning"