Volum og overflate av kjegler og kuler

Volumet av en rett kjegle er $\frac{1}{3}$ av volumet av en rett sylinder med samme grunnflate og høyde.

$$ \begin{array}{rcl}V & =& \frac{G·h}{3}\\ & & \\ & =& \frac{\mathrm{\pi }{r}^2·h}{3}\end{array}$$

For å finne overflaten må vi tenke oss kjeglen klippet opp og lagt ut slik tegningen nedenfor viser.

Overflaten består av en sirkel, grunnflaten, og en sirkelsektor som er en del av en sirkel med radius $s$. Vi sier at $s$ er sidekanten i kjeglen.

Buen i sirkelsektoren er lik omkretsen til grunnflaten.

Forholdet mellom arealet til sirkelsektoren og stor sirkel er lik forholdet mellom buelengden til sirkelsektoren og omkretsen til stor sirkel.

$$ \begin{array}{rcl}\frac{A\left(\mathrm{sirkelsektor}\right)}{\mathrm{\pi }{s}^2}& =& \frac{2\mathrm{\pi }r}{2\mathrm{\pi }s}\\ & & \\ A\left(\mathrm{sirkelsektor}\right)& =& \frac{\mathrm{\pi }{s}^{\cancel{2}}\cancel{2\mathrm{\pi }}r}{\cancel{2\mathrm{\pi }} \cancel{s}} \\ & & \\ A\left(\mathrm{sirkelsektor}\right)& =& \mathrm{\pi }rs\end{array}$$

Eksempel

Regn ut volum og overflate av en kjegle der diameter i grunnflaten $d=3,0 \mathrm{cm}$ og høyden
$h=5,0 \mathrm{cm}$

$V=\frac{\mathrm{\pi }{r}^2·h}{3}$

$V=12 {\mathrm{cm}}^3$

Når vi skal regne ut overflaten, må vi finne arealet av sirkelsektoren med radius $s$.

Vi finner sidekanten i kjeglen, $s$ ved å bruke Pytagoras' setning.

$O=\mathrm{\pi }{r}^2+\mathrm{\pi }r·s$

$O=32 {\mathrm{cm}}^2$

Vi kan finne volum og overflate av en kule ved å bruke formlene nedenfor.

Volum og overfalte av en kule

$V=\frac{4\mathrm{\pi }{r}^3}{3}$ og $O=4\mathrm{\pi }{r}^2$

Eksempel

Regn ut volumet og overflaten av en kule med radius $r=5,0 \mathrm{cm}$.

$V=530 {\mathrm{cm}}^3$

$O=310 {\mathrm{cm}}^2$