Oppgave

Formlikhet

Oppgavene nedenfor der du skal regne, kan løses med alle hjelpemidler.

2.3.1

Forklar at $∆ A B C$ er formlik med $∆ D E F$ .

Hvor stor er den siste vinkelen i trekantene?

Formlike trekanter. Illustrasjon. — Bilde: Olav Kristensen, Stein Aanensen / CC BY-SA 4.0

vis fasit

Trekantene har parvis like store vinkler og er dermed formlike.

Den siste vinkelen er $180 ° - 45 ° - 71, 57 ° = 63, 43 °$

2.3.2

$∆ A B C$ og $∆ D E F$ er formlike.

a) Finn lengden av $A C$ .

vis fasit

Vi regner først ut målestokken når vi går fra $∆ D E F$ til $∆ A B C$ .

$\frac{A B}{D E} = \frac{6, 0}{8, 0} = 0, 75$

Så kan vi finne lengden av $A C$ .

$A C = 10, 0 cm \cdot 0, 75 = 7, 5 cm$

b) Finn lengden av $E F$ .

vis fasit

$E F = \frac{B C}{0, 75} = \frac{6, 3 cm}{0, 75} = \frac{6, 3 cm}{\frac{3}{4}} = \frac{\overset{2, 1}{6, 3} cm \cdot 4}{3} = 8, 4 cm$

2.3.3

I $Δ D E F$ er $D E$ parallell med $G H$ . Forklar at $∆ D E F$ er formlik med $∆ G H F$ .

vis fasit

Trekantene $D E F$ og $G H F$ har felles vinkel $F$ . De parallelle linjene $D E$ og $G H$ skjæres av linjene gjennom $D F$ og $E F$ . Når to parallelle linjer skjæres av en tredje linje, er de samsvarende vinklene like store, dvs. at vinkel $D E F$ = vinkel $G H F$ osv. Trekantene har dermed parvis like store vinkler og er da formlike.

2.3.4

Figuren viser to trekanter $C D S$ og $A B S$ . $C D$ er parallell med $A B$ . Forklar at $∆ C D S$ er formlik med $∆ A B S$ .

En figur hvor linjene AB og CD er parallelle. Det er trukket linjer mellom A og D og mellom B og C. Disse linjene skjærer hverandre i S. Illustrasjon. — Bilde: Tove Annette Holter / CC BY-NC-SA 4.0

vis fasit

Toppvinklene $A S B$ og $C S D$ er like store. De parallelle linjene gjennom $A$ og $B$ og gjennom $C$ og $D$ skjæres av linjene gjennom $A$ og $D$ og gjennom $B$ og $C$ . Når to parallelle linjer skjæres av ei tredje linje, er de samsvarende vinklene like store. Trekantene har dermed parvis like store vinkler og er da formlike.

2.3.5

$∆ A B C$ og $∆ D E F$ nedenfor er formlike. $∠ A = ∠ D$ . Hvor store er de andre vinklene i trekantene?

vis fasit

$\begin{array}{rcl} ∠ A C B & = & ∠ D F E \\ ∠ A C B & = & 71, 6 ° \\ ∠ C B A & = & ∠ F E B = 180 ° - 45 ° - 71, 6 ° = 63, 4 ° \end{array}$

2.3.6

Norges høyeste tre skal være grantreet ”Goliat” i Aurskog - Høland. Lise vil finne ut hvor høyt treet er. Hun plasserer en 2,0 m loddrett stav på bakken 10,0 m foran treet. Lise sikter inn en rett linje fra toppen av treet gjennom toppen av staven som treffer bakken 0,5 m fra staven. Bruk formlikhet og regn ut hvor høyt treet er.

vis fasit

Trekanten dannet av bakken, staven og siktelinja er formlik med trekanten som dannes av bakken, treet og siktelinja. Trekantene har felles vinkel der siktelinja treffer bakken og både staven og treet danner $90 °$ med bakken.

$\begin{array}{rcl} Målestokk & = & \frac{10, 5}{0, 5} = 21 \\ 2, 0 m \cdot 21 & = & 42 m \end{array}$

Treet er 42 meter høyt.

2.3.7

Se på figuren og forklar hvorfor trekantene $B S T$ og $B ´ S T ´$ er formlike.

vis fasit

Trekantene $B S T$ og $B ´ S T ´$ har felles vinkel $S$ . Begge trekantene er rettvinklet. Trekantene har da parvis like store vinkler og er formlike.

2.3.8

På figuren under er siden $P Q$ parallell med $R T$ . Forklar hvorfor trekantene $P Q S$ og $R S T$ er formlike. Hvilken side er tilsvarende til $S T$ ? Finn lengden til denne siden.

Figur med to formlike trekanter P Q S og R T S med felles toppvinkel S. P Q er 4 meter, S T er 5 meter og R T er 6 meter. Illustrasjon. — Bilde: Astri Tjelmeland Tverå / CC BY-SA 4.0

vis fasit

$∠ P S Q = ∠ R S T$ fordi de er toppvinkler.

Linjene $P T$ og $R Q$ skjærer de parallelle linjene $P Q$ og $R T$ og vi har da at de samsvarende vinklene er like. For eksempel er $∠ S Q P = ∠ S R T$ .

Trekantene har da parvis like store vinkler og er formlike. Da $∠ S Q P = ∠ S R T$ er sidene $P S$ og $S T$ tilsvarende sider fordi de er motstående sider til like store vinkler.

Forholdet mellom tilsvarende sider er konstant.

$\frac{P S}{S T} = \frac{P Q}{R T} \Rightarrow \frac{P S}{5 m} = \frac{4 m}{6 m} \Rightarrow P S = 5 m \cdot \frac{4}{6} = \frac{20 m}{6} = 3, 3 m$

2.3.9

Vi står på Sjøsanden og skal beregne avstanden ut til Hatholmen . Se figuren under. Vi måler avstander og finner at $A B = 25 m$ , $C D = 200 m$ og $B C = 2, 5 m$ . Hva blir avstanden ut til Hatholmen?

To rettvinklede trekanter A B C og C D E med felles toppunkt C er plassert oppå et kartutsnitt over området rundt Sjøsanden og Hatholmen. Vinklene D og B er rette. Punktene A, C og E ligger på en rett linje. Punktet E er på Hatholmen mens de andre er på fastlandet. Avstanden D E er korteste avstand fra Hatholmen inn til land. Illustrasjon. — Kart over området Sjøsanden-Hatholmen. Bilde: Astri Tjelmeland Tverå, Bjarne Skurdal / CC BY-NC-SA 4.0

vis fasit

$∆ D C E$ og $∆ B C A$ er formlike fordi vinkel $C$ er lik i de to trekantene (toppvinkler), og begge trekantene er rettvinklete. Forholdet mellom de tilsvarende sidene $C D$ og $B C$ blir

$\frac{200}{2, 5} = 80$

$D E = A B \cdot 25 = 80 \cdot 25 = 2 000$

Avstanden $D E$ ut til Hatholmen er $2 000$ meter.

2.3.10

Denne oppgaven krever fint vær og at du får lov av læreren din. Gå sammen to og to og finn ut hvor høy skolen din er.

Utstyr
- Målebånd/tommestokk
Metode
- Gå ut i solen rett ved skolen.
- Få medeleven din til å måle skyggen som du lager.
- Mål lengden av skyggen som skolen lager.
- Mål din egen høyde, dersom du ikke vet hvor høy du er.

Du har nå to formlike trekanter og kan finne ut hvor høy skolen din er!

2.3.1

2.3.2

2.3.3

2.3.4

2.3.5

2.3.6

2.3.7

2.3.8

2.3.9

2.3.10

Regler for bruk av teksten "Formlikhet"