Oppgave

Eksponentialfunksjoner

Eksponentialfunksjonen er en av matematikkens mest brukte funksjoner. Funksjonsuttrykket inneholder en potens med x i eksponenten. Oppgavene nedenfor viser kjente situasjoner der vi bruker eksponentialfunksjoner. Bruk et hjelpemiddel, for eksempel GeoGebra, når du skal løse oppgavene.

3.3.50

Eksponentialfunksjonene $f$ , $g$ og $h$ er gitt ved

$f (x) = 3 \cdot 0, 6^{x}$

$g (x) = 3 \cdot 1, 2^{x}$

$h (x) = 3 \cdot 2, 1^{x}$

a) Tegn grafene til de tre funksjonene i det samme koordinatsystemet.

Løsning

3 grafer tegnet i det samme koordinatsystemet med x-verdier fra minus 5 til 6. Grafen f av x er lik 3 multiplisert med 0,6 opphøyd i x er tegnet med blå farge. Grafen h av x er lik 3 multiplisert 2,1 opphøyd i x er tegnet med grønn farge. Grafen g av x er lik 3 multiplisert med 1,2 opphøyd i x. Skjermutklipp. — Grafene til f, g og h tegnet i det samme koordinatsystemet. Bilde: Olav Kristensen, Stein Aanensen / CC BY-NC-SA 4.0

b) Grafene skjærer andreaksen i 3. Hva er grunnen til det?

Løsning

Når $x = 0$ , vil vekstfaktoren opphøyd i 0 bli 1, og grafene vil da skjære andreaksen i 3.

c) Hvilken betydning har vekstfaktoren for stigningen til grafen?

Løsning

Når vekstfaktoren er større enn 1, vil grafen stige mot høyre.
Når vekstfaktoren er mindre enn 1, vil grafen synke mot høyre.

3.3.51

En gul skuter ved sjøen. Foto. — Bilde: Jens Sølvberg / CC BY-NC-SA 4.0

Miriam kjøpte en skuter for 10 000 kroner i begynnelsen av 2020. Vi regner med at verdien synker med 15 prosent per år.

a) Lag et funksjonsuttrykk, $S (x)$ , som viser hvor mye skuteren er verdt etter $x$ år.

Løsning

Vekstfaktoren ved 15 prosent nedgang er

$1 - \frac{15}{100} = 0, 85$

Funksjonsuttrykket blir

$S (x) = 10 000 \cdot 0, 85^{x}$

b) Tegn grafen til S. Velg $x$ mellom 0 og 8.

Løsning

Grafen til funksjonen S av x er lik 10000 multiplisert med 0,85 opphøyd i x er tegnet i et koordinatsystem for x-verdier mellom 0 og 8. Linja y er lik 3000 er også tegnet, og skjæringspunktet B mellom linja og grafen til S er markert og har koordinatene 7,41 og 3000. Punktet A med koordinatene 3 og 6141,25 på grafen til S er også tegnet. Skjermutklipp. — Graf som viser hvordan verdien på en skuter faller. Bilde: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

c) Finn grafisk skuterens verdi når den er tre år gammel.

Løsning

Vi skriver inn punktet $(3, S (3))$ , se punkt $A$ på grafen. Skuterens verdi etter tre år er 6 141 kroner.

d) Finn grafisk når skuterens verdi er 3 000 kroner.

Løsning

Vi tegner linja $y = 3 000$ . Vi finner skjæringspunktet mellom denne linja og grafen til $S$ med kommandoen "Skjæring mellom to objekt", se punkt $B$ på grafen. Det tar omtrent 7,4 år før skuterens verdi er 3 000 kroner.

3.3.52

Temperaturen i et kjøleskap de første timene etter et strømbrudd er gitt ved

$T (x) = 3 \cdot 1, 15^{x}$

der $x$ er antall timer etter strømbruddet.

a) Hva var temperaturen i kjøleskapet ved strømbruddet?

Løsning

Når strømbruddet skjer, er $x = 0$ . Vi setter inn i 0 uttrykket og får $T (0) = 3 \cdot 1, 15^{0} = 3 \cdot 1 = 3$ . Temperaturen i kjøleskapet ved strømbruddet var $3$ grader celsius.

b) Hva var temperaturen i kjøleskapet fem timer etter strømbruddet?

Løsning

Fem timer etter strømbruddet er $x = 5$ . Vi får $T (5) = 3 \cdot 1, 15^{5} \approx 6, 03$ . Fem timer etter strømbruddet er temperaturen i kjøleskapet 6 grader celsius.

c) Tegn grafen til $T$ . La $x$ variere mellom 0 og 35.

Løsning

Grafen til t av x er lik 3 multiplisert med 1,15 opphøyd i x er tegnet i et koordinatsystem der x-aksen går fra 0 til 35 og y-aksen går fra 0 til 25. Vi ser at grafen stiger, og stigningen er økende. Langs x-aksen står det x timer etter strømbrudd, og langs y-aksen står det T temperatur i grader celsius. Skjermutklipp. — Grafen til T(x). Bilde: Viveca Thindberg / CC BY-NC-SA 4.0

d) Hvor lang tid går det før temperaturen i kjøleskapet er 10 grader ?

Løsning

Vi tegner linja $y = 10$ . Vi finner skjæringspunktet mellom denne linja og grafen til T med kommandoen "Skjæring mellom to objekt". Det tar omtrent 8,6 timer før det er 10 grader i kjøleskapet.

e) Hva betyr tallet 1,15 i funksjonen $T (x)$ ?

Løsning

Siden $T (x)$ er en eksponentialfunksjon, kan vi se på tallet 1,15 som en vekstfaktor. 1,15 er vekstfaktoren ved 15 prosent stigning, så etter modellen stiger temperaturen med 15 prosent for hver time.

f) Er det realistisk å bruke denne modellen dersom strømmen er borte over en lengre periode (i mer enn ett døgn)? Begrunn svaret ditt.

Løsning

Vi kan sette $x$ lik for eksempel 24 og 30 timer, og vi finner temperaturen i kjøleskapet:

$T (24) = 31, 63$

$T (30) = 69, 21$

Ut fra denne modellen vil temperaturen stige sterkt etter ett døgn, noe som er lite sannsynlig. Modellen viser at det etter 30 timer vil være nesten 70 grader i kjøleskapet. Vi forventer at temperaturen i kjøleskapet tilpasser seg temperaturen i rommet. Modellen er derfor urealistisk dersom strømbruddet varer over en lengre periode.

g) Lag ei mer troverdig skisse av hvordan du tror temperaturen i kjøleskapet vil utvikle seg.

Løsning

Det er mest sannsynlig at temperaturen stiger mest i starten. Når temperaturen nærmer seg romtemperatur, vil stigningen avta. En mulig graf for temperaturutviklingen er tegnet nedenfor.

Grafen til en ukjent funksjon er tegnet for x-verdier mellom 0 og 13. Grafen er stigende hele veien, men den stiger mindre og mindre etter hvert som x blir større og større. Skjermutklipp. — Grafen til T(x). Bilde: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

3.3.53

Virus farget røde med gule overflateproteiner. Foto. — Covid-19-virus farget og fotografert gjennom et elektronmikroskop. Bilde: Science Photo Library / CC BY-NC 4.0

Covid-19 er en smittsom sykdom forårsaket av koronaviruset. En liten by, Alubia, brukte en modell laget av anerkjente forskere for å beregne antall smittede per dag.

a) 9. februar 2021 var vekstfaktoren for smitte 1,22. Hva betyr det for utvikling av koronaviruset i Alubia?

Løsning

Spredningen av koronaviruset økte med 22 prosent per dag etter 9. februar.

b) Gå ut ifra at det allerede var 371 smittede før 9. februar. Lag et funksjonsuttrykk, $A (x)$ , som viser antall smittede i Alubia $x$ dager etter 9. februar.

Løsning

$A (x) = 371 \cdot 1, 22^{x}$

c) Hvor mange smittede var det i Alubia på valentinsdagen 14. februar?

Løsning

$A (x) = 371 \cdot 1, 22^{5} \approx 1 002, 7$

Det var 1 003 smittede i Alubia på valentinsdagen.

d) I nabobyen, Tiblix, hadde de 735 smittede 9. februar. Beregninger viste at antall smittede økte med 8 prosent for hver dag. Lag et funksjonsuttrykk, $T (x)$ , som viser antall smittede i Tiblix $x$ dager etter 9. februar.

Løsning

$T (x) = 735 \cdot 1, 08^{x}$

e) Tegn grafene $A (x)$ og $T (x)$ i det samme koordinatsystemet.

Løsning

To grafer i et koordinatsystem der x-aksen går fra 0 til 10 og y-aksen går fra 0 til 2000. Langs x-aksen står det dager etter 9. februar. Langs y-aksen står det antall smittede. En rød graf, a av x er lik 371 multiplisert med 1,22 opphøyd i x, er stigende, og den skjærer y-aksen i 371. En blå graf, t av x er lik 735 multiplisert med 1,08 opphøyd i x, er også stigende, og den skjærer y-aksen i 735. Grafene krysser hverandre på omtrent x er lik 5,5. Skjermutklipp. — Grafene til A(x) og T(x). Bilde: Viveca Thindberg / CC BY-SA 4.0

f) Selv om Tiblix hadde nesten dobbelt så mange smittede som Alubia, ble situasjonen omvendt etter noen dager. Når ble det flere smittede i Alubia enn i Tiblix?

Løsning

Vi velger "Skjæring mellom to objekt" og får punktet (5.61, 1 131.77). Seks hele dager etter 9. februar var det altså flere smittede i Alubia enn i Tiblix.

To grafer i et koordinatsystem der x-aksen går fra 0 til 20 og y-aksen går fra 0 til 2500. Langs x-aksen står det dager etter 9. februar. Langs y-aksen står det antall smittede. En rød graf, a av x er lik 371 multiplisert med 1,22 opphøyd i x, er stigende, og den skjærer y-aksen i 371. En blå graf, t av x er lik 735 multiplisert med 1,08 opphøyd i x, er også stigende, og den skjærer y-aksen i 735. Grafene krysser hverandre i punktet x er lik 5,61 og y er lik 1131,77. Skjermutklipp. — Grafene til A(x) og T(x). Bilde: Viveca Thindberg / CC BY-SA 4.0

g) Hvor mange smittede var det i byene Alubia og Tiblix 18. februar 2021? Bruk funksjonsuttrykkene $A (x)$ og $T (x)$ for å finne svaret.

Løsning

18. februar er ni dager etter 9. februar. Vi skriver $x = 9$ og velger "Skjæring mellom to objekt" for å finne punktene der linja skjærer grafene. Vi leser av verdien på skjæringspunktene. 18. februar var det 2 221 smittede i Alubia og 1 469 smittede i Tiblix.

To grafer i et koordinatsystem der x-aksen går fra 0 til 20 og y-aksen går fra 0 til 3000. Langs x-aksen står det dager etter 9. februar. Langs y-aksen står det antall smittede. En blå graf, a av x er lik 371 multiplisert med 1,22 opphøyd i x, er stigende, og den skjærer y-aksen i 371. En rød graf, t av x er lik 735 multiplisert med 1,08 opphøyd i x, er også stigende, og den skjærer y-aksen i 735. Ei rett linje er tegnet inn for x er lik 9. Linja skjærer den røde grafen i punktet x er lik 9 og y er lik 1469,3. Linja skjærer den blå grafen i punktet x er lik 9 og y er lik 2221,3. Skjermutklipp. — Grafene til A(x) og T(x). Bilde: Viveca Thindberg / CC BY-SA 4.0

3.3.54

Stabel med mynter omgitt av pengesedler. Foto. — Bilde: Gorm Kallestad / CC BY-NC-SA 4.0

Salim får 15 000 kroner i gave fra bestefar. Han setter pengene i banken og får ei årlig rente på 5,3 prosent.

a) Lag et funksjonsuttrykk, $S (x)$ , som viser hvor mye penger Salim har i banken etter $x$ år.

Løsning

$S (x) = 15 000 \cdot 1, 053^{x}$

b) Vennen til Salim, Isak, satte 17 000 kroner i banken samtidig med Salim. Isak brukte en annen bank og fikk ei årlig rente på 2,7 prosent. Lag et funksjonsuttrykk, $I (x)$ , som viser hvor mye penger Isak har på sin bankkonto etter $x$ år.

Løsning

$I (x) = 17 000 \cdot 1, 027^{x}$

c) Tegn grafene til $S (x)$ og $I (x)$ i det samme koordinatsystemet.

Løsning

To grafer i et koordinatsystem der x-aksen går fra 0 til 20 og y-aksen går fra 0 til 35000. Langs x-aksen står det x, år etter innskudd. Langs y-aksen står det y, kroner på bankkonto. En blå graf, S av x er lik 15000 multiplisert med 1,053 opphøyd i x, er stigende. En rød graf, I av x er lik 17000 multiplisert med 1,027 opphøyd i x, er også stigende. Skjermutklipp. — Grafene til I(x) og S(x). Bilde: Viveca Thindberg / CC BY-SA 4.0

d) Etter hvor mange år har Salim for første gang mer penger på sin bankkonto enn Isak?

Løsning

Vi velger "Skjæring mellom to objekt" for å finne punktet der grafene skjærer hverandre. Punktet viser at etter litt over fem år vil Salim ha mer penger på kontoen enn Isak.

Grafisk løsning:

To grafer i et koordinatsystem der x-aksen går fra 0 til 30 og y-aksen går fra 0 til 35000. Langs x-aksen står det x, år etter innskudd. Langs y-aksen står det y, kroner på bankkonto. En blå graf, S av x er lik 15000 multiplisert med 1,053 opphøyd i x, er stigende. En rød graf, I av x er lik 17000 multiplisert med 1,027 opphøyd i x, er også stigende. Grafene krysser hverandre i punktet der x er lik 5 og y er lik 19425,6. Skjermutklipp. — Grafene til S(x) og I(x). Bilde: Viveca Thindberg / CC BY-SA 4.0

e) Etter hvor mange år vil Salim for først gang ha over 30 000 kroner på bankkontoen sin?

Løsning

Vi lager ei horisontal linje ved å velge $y = 30 000$ . Vi ser hvor linja skjærer den blå grafen. Etter 14 år vil Salim for første gang ha over 30 000 kroner på kontoen sin.

Grafisk løsning:

3.3.50

3.3.51

3.3.52

3.3.53

3.3.54

Regler for bruk av teksten "Eksponentialfunksjoner"