Arealformelen for trekanter

Vi skal finne arealet av et trekantet lekeområde ABC hvor AB er 60 m, AC er 50 m og vinkel A er 57 grader.

Løsning

(Her regner vi uten GeoGebra fordi vi ønsker å se hele utregningen for å komme fram til arealformelen!)

Vi kjenner arealformelen for en trekant $T=\frac{g·h}{2}$.

Høyden h deler trekanten i to rettvinkla trekanter. I den venstre rettvinkla trekanten blir høyden h motstående katet til vinkel A. Hypotenusen blir siden AC. Da kan vi sette opp

$\begin{array}{rcl} \sin A& = & \frac{\mathrm{Motstående} \mathrm{katet}}{\mathrm{Hypotenus}}=\frac{h}{AC}\\ & & \\ \sin 57°& =& \frac{h}{50}\\ & & \\ h& =& 50·\sin 57°\end{array}$

Når vi setter dette inn i arealformelen for trekanten, får vi

$T=\frac{g·h}{2}=\frac{60·50·\sin 57°}{2}=\frac{1}{2}·60·50·\sin 57°\approx 1300$

Arealet av lekeområdet er $1300 {\mathrm{m}}^2$.

Denne fremgangsmåten kan brukes i alle liknende situasjoner. Vi kan da lage en generell formel for arealet av en trekant når vi kjenner to sider og vinkelen mellom dem.

Med samme framgangsmåte som over, får vi

$\begin{array}{rcl}\sin A& = & \frac{h}{b}\\ & & \\ h& =& b·\sin A\end{array}$

Vi får da at

$\begin{array}{rcl} T& = & \frac{c·h}{2}\\ & & \\ & =& \frac{c·b·\sin A}{2}\\ & & \\ & =& \frac{1}{2}·c·b·\sin A\end{array}$