Variable størrelser i strikking og mosjon

Vi vet at 22 masker er 10 cm. Da kan vi finne antall masker på én cm ved å dele 22 med 10.

$\frac{22 \mathrm{masker}}{10 \mathrm{cm}}=2,2 \frac{\mathrm{masker}}{\mathrm{cm}}$

Vi må multiplisere antall masker per cm med antall cm vi skal strikke. Vi får at antall masker blir

$2,2 \frac{\mathrm{masker}}{\mathrm{cm}}·45 \mathrm{cm}=99 \mathrm{masker}$

Når vi skal finne ut hvor mange masker det blir i bredden, må vi gange 2,2 med antall cm, altså får vi

$b\left(x\right)=2,2·x=2,2x$

Antall masker per cm i høyden blir

$\frac{25 \mathrm{masker}}{10 \mathrm{cm}}=2,5 \frac{\mathrm{masker}}{\mathrm{cm}}$

$h\left(y\right)=2,5·y=2,5y$

Vi bruker ikke samme bokstav fordi de måler to forskjellige ting. Den ene måler bredden, den andre måler høyden, og de vil ha ulike verdier i praksis.

Opplysningene betyr at $x=70$ og $y=40$. Antallet masker i bredden blir

$b\left(70\right)=2,2·70=154$

mens antallet masker i høyden blir

$h\left(40\right)=2,5·40=100$

Dette blir som arealet av et rektangel målt i masker. Vi må multiplisere antall masker i bredden med antall masker i høyden. Antallet masker totalt blir

$154·100=15 400$

Her er det mange måter å gå fram på. Vi tar utgangspunkt i formelen $b\left(x\right)=2,2x$. Vi vet nå at $b\left(x\right)=132$. Da får vi

$\begin{array}{rcl}2,2x & =& 132\\ \frac{\cancel{2,2}x}{\cancel{2,2}} & =& \frac{132}{2,2}\\ x & =& 60\end{array}$

Bredden blir 60 cm.

Dette blir det motsatte av funksjonen $b\left(x\right)$.

Alternativ 1

Vi kan snu på formelen $b\left(x\right)=2,2x$. For å gjøre det enklere, skriver vi nå

$b=2,2x$. (Husk at $b\left(x\right)$ bare er en skrivemåte. Størrelsen har navnet $b$.)

Vi ønsker å ende opp med $x=$. Da gjør vi omtrent som i forrige oppgave.

$\begin{array}{rcl}b & =& 2,2x\\ \frac{b}{2,2} & =& \frac{\cancel{2,2}x}{\cancel{2,2}}\\ \frac{b}{2,2} & =& x\\ x & =& \frac{b}{2,2}\end{array}$

Nå kan vi regne ut bredden $x$ ut ifra antall masker $b$, og vi kan skrive

$x\left(b\right)=\frac{b}{2,2}$

Alternativ 2

Vi vet at 22 masker i bredden tilsvarer 10 cm. Da vil 1 maske tilsvare

$\frac{10 \mathrm{cm}}{22}=0,455 \mathrm{cm}$

For å finne ut hvor langt et visst antall masker $b$ er, må vi multiplisere $b$ med dette tallet. Det gir oss

$x\left(b\right)=0,455·b=0,455b$

Vi tar utgangspunkt i formelen/funksjonen i alternativ 2.

$$\begin{gathered} x\left(b\right)=0,455·b=\frac{10}{22}·\frac{b}{1}=\frac{10·b}{22·1} \\ =\frac{\cancel{10}·b}{\cancel{10}·2,2}=\frac{b}{2,2} \end{gathered}$$

Konklusjon: Det er samme formel.

Dette blir det motsatte av funksjonen $h\left(y\right)$.

Alternativ 1

Vi kan snu på formelen $h\left(y\right)=2,5y$. For å gjøre det enklere, skriver vi nå $h=2,5y$. (Husk at $h\left(y\right)$ bare er en skrivemåte. Størrelsen har navnet $h$.)

Vi ønsker å ende opp med $y=$. Vi får

$\begin{array}{rcl}h & =& 2,5y\\ \frac{h}{2,5} & =& \frac{\cancel{2,5}y}{\cancel{2,5}}\\ \frac{h}{2,5} & =& y\\ y & =& \frac{h}{2,5}\end{array}$

Nå kan vi regne ut bredden $x$ ut ifra antall masker $b$, og vi kan skrive

$y\left(h\right)=\frac{h}{2,5}$

Alternativ 2

Vi vet at 25 masker i høyden tilsvarer 10 cm. Da vil 1 maske tilsvare

$\frac{10 \mathrm{cm}}{25}=0,4 \mathrm{cm}$

For å finne ut hvor høyt et visst antall masker $h$ er, må vi multiplisere $h$ med dette tallet. Det gir oss

$y\left(h\right)=0,4·h=0,4h$

Vi får

$b\left(x\right)=\frac{12}{10}·x=1,2·x=1,2x$

Da må den motsatte formelen bli

$x\left(b\right)=\frac{b}{1,2}$

Forholdet mellom antall masker i høyden og antall masker i bredden skal være det samme. Med originalgarnet er dette forholdet $\frac{25}{22}$. Hvis vi setter det ukjente tallet på masker i høyden for $n$ med det andre garnet, blir forholdet $\frac{n}{12}$. Disse to forholdene må være like, og vi får

$\begin{array}{rcl}\frac{n}{12} & =& \frac{25}{22}\\ \frac{n·\cancel{12}}{\cancel{12}} & =& \frac{{\displaystyle 25·12}}{{\displaystyle 22}}\\ n & =& 13,6\end{array}$

Selv om vi ikke kan strikke 13,6 masker, kan vi regne med tallet 13,6. Vi får videre at

$h\left(y\right)=\frac{13,6}{10}·y=1,36·y=1,36y$

Den motsatte formelen blir

$y\left(h\right)=\frac{h}{1,36}$

Vi må finne ut hvor langt Tove kommer på ett minutt. Tiden i minutter er

$1\mathrm{h} 34\min =60 \min +34 \min =94 \min$

Antall km per minutt blir

$\frac{28,6 \mathrm{km}}{94 \min }=0,304 \mathrm{km}/\min$

Dette er et mål på farten til Tove.

Vi kan da sette opp følgende uttrykk:

$s\left(t\right)=0,304t$

Vi gjør om tiden til minutter.

$1\mathrm{h} 2\min =60 \min +2 \min =62 \min$

Her er vi interessert i antall minutter per km. Da må vi gjøre det motsatte av hva vi gjorde i forrige oppgave.

$\frac{62 \min }{28,6 \mathrm{km}}=2,17 \min /\mathrm{km}$

Dette er også et mål på fart, men i stedet for å si noe om hvor langt Christian kommer per minutt som i forrige oppgave, sier tallet her noe om hvor lang tid han bruker per km. Hvis vi multipliserer dette tallet med hvor langt han har syklet, får vi hvor lang tid han brukte. Vi får derfor

$t\left(x\right)=2,17x$

Her skal vi altså fram til en funksjon $s$, ikke $s\left(t\right)$, men $s\left(x\right)$ siden $x$ er hvor langt Christian har kommet.

Erstatt $t$ i formelen for $s\left(t\right)$ med formelen $t\left(x\right)$.

$s\left(x\right)=0,304t=0,304·t\left(x\right)=0,304·2,17x=0,66x$

Formelen forteller oss at for hver km Christian sykler, sykler Tove 0,66 km eller 660 m.

Her har vi at $x=5$. Da får vi

$s\left(5\right)=0,66·5=3,3$

Tove har syklet 3,3 km når Christian har syklet 5 km.

Her må vi gjøre tilsvarende som i oppgavene over, men vi kan ta noen snarveier.

Vi fant i oppgave c) at vi endte opp med å multiplisere de to forholdstallene for km/min for Tove og min/km for Christian.

Tove:

$1\mathrm{h} 40\min =60 \min +40 \min =100 \min$

$\frac{6,9 \mathrm{km}}{100 \min }=0,069 \mathrm{km}/\min$

Christian:

$1\mathrm{h} 9\min =60 \min +9 \min =69 \min$

$\frac{69 \min }{6,9 \mathrm{km}}=10 \min /\mathrm{km}$

Vi får

$s\left(x\right)=0,069·10x=0,69x$

Tove kommer lenger per km Christian har kommet på fottur siden konstanten i formelen for fottur (0,69) er større enn for sykling (0,66). Christian er derfor ikke like rask i forhold til Tove på fottur som på sykkel (selv om forskjellen ikke er veldig stor).