Fagstoff

Fullstendige kvadrater

Publisert: 30.12.2011, Oppdatert: 17.02.2017

Et fullstendig kvadrat er et andregradsuttrykk som vi kan faktorisere direkte ved hjelp av første eller andre kvadratsetning.

For eksempel er uttrykket $x^{2} - 6 x + 9$ et fullstendig kvadrat fordi

$x^{2} - 6 x + 9 = {(x - 3)}^{2}$

Første og andre kvadratsetning

(a+b)² = a² +2ab + b²

(a-b)² = a² -2ab + b²

Hvordan kan vi se om et andregradsuttrykk er et fullstendig kvadrat?

Vi bruker uttrykket $x^{2} - 6 x + 9$ som eksempel.

Første forutsetning er at andregradsleddet og konstantleddet er kvadratiske uttrykk med positivt fortegn. Det stemmer her, og vi finner at $a = \sqrt{x^{2}} = x og b = \sqrt{9} = 3$
Videre må «det dobbelte produkt», det vil si 2ab, vere lik 6x. Vi sjekker: $2 ab = 2 \cdot x \cdot 3 = 6 x$ . Det stemmer.
Førstegradsleddet er negativt. Det betyr at vi kan bruke andre kvadratsetning.
Da er $x^{2} - 6 x + 9 = {(x - 3)}^{2}$ og vi har et fullstendig kvadrat.

Oppgave

Undersøk om $x^{2} + 8 x + 16$ og $x^{2} - 5 x + 25$ er fullstendige kvadrater.

Å lage fullstendige kvadrater

Det er få andregradsuttrykk som er fullstendige kvadrater. Men det er mulig å faktorisere andregradsuttrykk ved å lage fullstendig kvadrat og så bruke konjugatsetningen.

(a+b)² = a² +2ab + b²

(a-b)² = a² -2ab + b²

Vi skal se på to eksempler hvor vi bruker denne metoden.

Eksempel 1

Vi skal faktorisere andregradsuttrykket $x^{2} + 4 x - 5$ .

Andregradsleddet er et kvadratuttrykk, x². Det gir $a = \sqrt{x^{2}} = x$ .
Konstantleddet, −5, er ikke et kvadrattall med positivt fortegn.
Vi legger til og trekker fra kvadrattallet b² til uttrykket, og får
$x^{2} + 4 x - 5 = \underset{Fullstendig kvadrat}{\underset{︸}{x^{2} + 4 x + b^{2}}} - b^{2} - 5$
Dette gjør vi for å lage et fullstendig kvadrat av de tre første ledda.
Vi må ha $2 ab = 4 x$ . Vi kan då finne b.
$2 ab = 4 x \Rightarrow b = \frac{4 x}{2 a} = \frac{4 x}{2 x} = 2$
Vi får da
$x^{2} + 4 x - 5 = \underset{⏟}{x^{2} + 4 x + 2^{2}} - 4 - 5 V i l e g g e r t i l o g t r e k k e r f r a 2^{2} F u l l s t e n d i g k v a d r a t = (x + 2)^{2} - 9 F u l l s t e n d i g k v a d r a t e t t e r 1 . k v a d r a t s e t n i n g = (x + 2)^{2} - 3^{2} V i b r u k e r k o n j u g a t s e t n i n g e n = ((x + 2) + 3) \cdot ((x + 2) - 3) = (x + 5) \cdot (x - 1)$

Vi har nå faktorisert andregradsuttrykket og fått $x^{2} + 4 x - 5 = (x + 5) (x - 1)$ .

Eksempel 2

Vi skal faktorisere andregradsuttrykket $2 x^{2} - 8 x - 42$ .

Her er ikke andregradsleddet et kvadratuttrykk. Men når vi setter faktoren 2 utenfor en parentes, så får vi et uttrykk hvor andregradsleddet er et kvadratuttrykk
$2 x^{2} - 8 x - 42 = 2 (x^{2} - 4 x - 21)$
Vi faktoriserer parentesuttrykket. Andregradsleddet er x². Det gir $a = \sqrt{x^{2}} = x$ .
Konstantleddet, −21, er ikke et kvadrattall med positivt fortegn.
Vi legger til og trekker fra kvadrattallet b² til uttrykket, og får
$x^{2} - 4 x - 21 = \underset{Fullstendig kvadrat}{\underset{︸}{x^{2} - 4 x + b^{2}}} - b^{2} - 21$
Vi må ha 2ab = 4x. Vi kan da finne b.
$2 ab = 4 x \Rightarrow \frac{4 x}{2 a} = \frac{4 x}{2 x} = 2$
Vi får da
$x^{2} - 4 x - 21 = \underset{⏟}{x^{2} - 4 x + 2^{2}} - 4 - 21 V i l e g g e r t i l o g t r e k k e r f r a 2^{2} F u l l s t e n d i g k v a d r a t = (x - 2)^{2} - 25 F u l l s t e n d i g k v a d r a t e t t e r 2 . k v a d r a t s e t n i n g = (x - 2)^{2} - 5^{2} V i b r u k e r k o n j u g a t s e t n i n g e n = ((x - 2) + 5) \cdot ((x - 2) - 5) = (x + 3) \cdot (x - 7)$

Vi har nå faktorisert andregradsuttrykket og fått $2 x^{2} - 8 x - 42 = 2 (x^{2} - 4 x - 21) = 2 (x + 3) (x - 7)$ .

Metode for å faktorisere uttrykk ved kvadratsetningene

Hvis andregradsleddet ikke er et kvadratisk uttrykk, setter vi faktoren foran andregradsleddet utenfor en parentes
Vi lager så et fullstendig kvadrat av parentesuttrykket ved å legge til et kvadratisk uttrykk slik at andregradsleddet, førstegradsleddet og det vi har addert utgjør nå et fullstendig kvadrat. Vi trekker samtidig fra det kvadratiske uttrykket for at uttrykket ikke skal endre verdi
Vi bruker så konjugatsetningen til å faktorisere uttrykket hvis dette er mulig. Det vil si hvis tallet etter det fullstendige kvadratet er negativt