Definisjon
Et polynom er et uttrykk med ett eller flere ledd der hvert ledd består av en konstant multiplisert med , der er et ikke-negativt heltall. Den høyeste eksponenten i uttrykket gir oss graden til polynomet. Uttrykket er et tredjegradspolynom, fordi den høyeste eksponenten i uttrykket er 3.
En polynomfunksjon er en funksjon som har et polynom som funksjonsuttrykk.
Uttrykket er et polynom av første grad fordi er av første grad. Uttrykket er et polynom av andre grad fordi vi har et ledd hvor er opphøyd i andre potens, og to er den høyeste eksponenten har. er et eksempel på et tredjegradspolynom fordi den høyeste eksponenten av her er 3.
Det er vanlig å ordne et polynom slik at leddet med den høyeste eksponenten kommer først, leddet med nest høyest eksponent kommer som nummer to og så videre. Fjerdegradspolynomet skriver vi på ordnet form som . Tallene foran potensene av kaller vi for koeffisienter. I dette fjerdegradspolynomet er koeffisienten foran lik .
Lineære funksjoner og andregradsfunksjoner er polynomfunksjoner av henholdsvis første og andre grad. Tredjegradsfunksjoner er polynomfunksjoner av tredje grad.
Generelt om tredjegradsfunksjoner
Vi tegner grafen til tredjegradsfunksjonen gitt ved
Nullpunkter
Funksjonen har nullpunktene .
Skjæring med 𝑦-aksen
Grafen skjærer -aksen når . Skjæringspunktet er .
Topp- og bunnpunkter
Grafen har toppunkt .
Grafen har bunnpunkt .
For andregradsfunksjoner sa vi at en funksjon hadde sin laveste verdi i bunnpunktet og høyeste verdi i toppunktet. En tredjegradsfunksjon kan ha høyere verdier enn i toppunktet andre steder på grafen. Vi sier likevel at grafen har et toppunkt, selv om det bare er lokalt.
Ekstremalpunkter
Du har sett at kommandoen i GeoGebra for å finne topp- eller bunnpunkter er «Ekstremalpunkt[<Polynom>]».
I eksamensveiledningen 2019 fra Utdanningsdirektoratet defineres ekstremalpunkt som førstekoordinaten til et topp- eller bunnpunkt. Ekstremalverdi er andrekoordinaten til et topp- eller bunnpunkt.
Et ekstremalpunkt er et felles navn for maksimal- eller minimalpunkter.
Et maksimalpunkt er førstekoordinaten til et toppunkt. Andrekoordinaten kalles en maksimalverdi.
Et minimalpunkt er førstekoordinaten til et bunnpunkt. Andrekoordinaten kalles en minimalverdi.
Kilde
Utdanningsdirektoratet (2019). Eksamensveiledning – om vurdering av eksamensbesvarelser. 2019. Matematikk. Sentralt gitt skriftlig eksamen. Studieforberedende og yrkesfaglige utdanningsprogram. Kunnskapsløftet LK06. Oslo: Utdanningsdirektoratet.