Du kan laste ned GeoGebra-ark med ferdig løsning til oppgavene nederst på sida.
ST-41
Ved en skole ble høyden til alle elevene på vg2 målt. Resultatet er presentert i tabellen.
Høyde til elevene
Høyde i cm
Frekvens
[150, 160⟩
6
[160, 165⟩
21
[165, 170⟩
60
[170, 175⟩
73
[175, 180⟩
64
[180, 185⟩
67
[185, 190⟩
24
[190, 200⟩
8
Sum
323
Du skal blant annet tegne et histogram som viser resultatene.
a) Finn søylehøyden (histogramhøyden) i hvert intervall.
Løsning
Husk at histogramhøyde er frekvens delt på klassebredde. Når vi bruker GeoGebra, trenger vi også ei liste med klassegrensene, og disse tallene er fine å bruke til å regne ut klassebreddene.
A
B
C
D
E
1
Høyde i cm
Frekvens
Klassegrenser
Klassebredde
Histogramhøyde
2
[150, 160⟩
6
150
10
0,6
3
[160, 165⟩
21
160
5
4,2
4
[165, 170⟩
60
165
5
12
5
[170, 175⟩
73
170
5
14,6
6
[175, 180⟩
64
175
5
12,8
7
[180, 185⟩
67
180
5
13,4
8
[185, 190⟩
24
185
5
4,8
9
[190, 200⟩
8
190
10
0,8
10
200
11
Sum
323
A
B
C
D
E
1
Høyde i cm
Frekvens
Klassegrenser
Klassebredde
Histogramhøyde
2
[150, 160⟩
6
150
=C3-C2
=B2/D2
3
[160, 165⟩
21
160
=C4-C3
=B3/D3
4
[165, 170⟩
60
165
=C5-C4
=B4/D4
5
[170, 175⟩
73
170
=C6-C5
=B5/D5
6
[175, 180⟩
64
175
=C7-C6
=B6/D6
7
[180, 185⟩
67
180
=C8-C7
=B7/D7
8
[185, 190⟩
24
185
=C9-C8
=B8/D8
9
[190, 200⟩
8
190
=C10-C9
=B9/D9
10
200
11
Sum
=SUM(B2:B9)
b) Presenter resultatet i et histogram.
Løsning
I GeoGebra lager vi lister av kolonnen med klassegrenser og kolonnen med histogramhøydene. Så bruker vi kommandoen "Histogram(Liste med klassegrenser, Liste med høyder)".
Under innstillingene til -aksen har vi latt y-aksen krysse ved 140.
c) Finn median, gjennomsnitt og standardavvik i datamaterialet.
Løsning
Vi starter med medianen. Nedenfor har vi lagt til en kolonne med kumulativ frekvens til frekvenstabellen.
Høyde til elevene
Høyde i cm
Frekvens
Kumulativ frekvens
[150, 160⟩
6
6
[160, 165⟩
21
27
[165, 170⟩
60
87
[170, 175⟩
73
160
[175, 180⟩
64
224
[180, 185⟩
67
291
[185, 190⟩
24
315
[190, 200⟩
8
323
Sum
323
Medianeleven er elev nummer
323+12=162
Elev nummer 162 havner så vidt i klassen med høyder fra og med 175 til 180. Elev nummer 162 blir elev nummer 162-160=2 i denne klassen. Medianhøyden blir da
175cm+264·5cm=175,2cm
Medianhøyden blir her nesten det samme som klassegrensen siden medianeleven har et nummer som bare er litt større enn den kumulative frekvensen til klassen over.
Gjennomsnittshøyden er 175,3 cm, og standardavviket er 8,0 cm. Vi bruker det vanlige standardavviket siden vi har tilgang på alle tallene. Se GeoGebra-ark nederst på sida.
ST-42
Tabellen viser aldersfordelingen i Norge i 2009. Tallene er hentet fra Statistisk sentralbyrå.
Alder
Antall personer i tusen
[0, 25⟩
1 536
[25, 35⟩
622
[35, 45⟩
722
[45, 70⟩
1 422
[70, 80⟩
287
[80, 112⟩
220
a) Hvor mange personer bodde i Norge i 2009?
Løsning
Antall personer i tusen:
1536+622+722+1422+287+220=4809
Det bodde cirka 4,8 millioner i Norge i 2009.
b) Presenter aldersfordelingen i Norge i et histogram.
Løsning
Vi legger tallene inn i regnearkdelen i GeoGebra. Vi minner om at histogramhøyde er frekvens delt på klassebredde.
I GeoGebra lager vi deretter lister av kolonnen med klassegrenser og kolonnen med histogramhøydene. Så bruker vi kommandoen "Histogram(Liste med klassegrenser, Liste med høyder)".
c) Finn median, gjennomsnitt og standardavvik i datamaterialet.
Løsning
Vi lager en kolonne med kumulativ frekvens i regnearkdelen i GeoGebra.
Aldersfordelingen i Norge i 2009
Alder
Frekvens
Kumulativ frekvens
[0, 25⟩
1 536
1 536
[25, 35⟩
622
2 158
[35, 45⟩
722
2 880
[45, 70⟩
1 422
4 302
[70, 80⟩
287
4 589
[80, 112⟩
220
4 809
Sum
4809
Medianalderen er person nummer (i tusen)
4809+12=2405
Av kolonnen med kumulative frekvenser får vi at tall nummer 2 405 havner i klassen med alder fra og med 35 til 45. Det er fordi kumulativ frekvens for denne klassen er større enn 2 405 og kumulativ frekvens for klassen [25, 35⟩ er mindre (2 158). Tall nummer 2 405 blir tall nummer
2405-2158=247
i denne klassen. Medianalderen blir da
35år+247722·10år=38,4år
Medianalderen er altså 38 år.
Gjennomsnittsalderen er 40 år, og standardavviket er 24 år. Se GeoGebra-ark nederst på sida der vi også har regnet ut medianalderen i regnearkdelen.
ST-43
Statens vegvesen var interessert i å finne ut hvilken fart bilistene holdt på en ny veistrekning. Den høyeste tillatte farten på strekningen var 100 km/t. Hastigheten ble målt på 20 biler. Resultatet av målingen er i tabellen. Farten er gitt i km/h.
Målt hastighet på 20 biler
95.5
103.8
101.2
92.0
89.8
101.5
110.0
120.2
104.1
99.2
119.9
103.8
105.0
131.7
95.2
108.4
113.4
114.9
106.3
102.7
a) Lag en frekvenstabell der du grupperer resultatene i de følgende gruppene:
[80,100〉,[100,105⟩,[105,110⟩,[110,120⟩,[120,135⟩
Løsning
Vi legger tallene i regnearkdelen i GeoGebra.
A
B
C
D
E
F
1
Fart i km/h
Telle- kolonne
Frekvens
Klasse- grenser
Klasse- bredde
Histogram- høyde
2
[80, 100⟩
||||
5
80
20
0,25
3
[100, 105⟩
||||||
7
100
5
1,4
4
[105, 110⟩
|||
3
105
5
0,6
5
[110, 120⟩
|||
3
110
10
0,3
6
[120, 135⟩
||
2
120
15
0,13
7
135
8
Sum
20
A
B
C
D
E
F
1
Fart i km/h
Telle- kolonne
Frekvens
Klasse- grenser
Klasse- bredde
Histogram- høyde
2
[80, 100⟩
||||
5
80
=D3-D2
=C2/E2
3
[100, 105⟩
||||||
7
100
=D4-D3
=C3/E3
4
[105, 110⟩
|||
3
105
=D5-D4
=C4/E4
5
[110, 120⟩
|||
3
110
=D6-D5
=C5/E5
6
[120, 135⟩
||
2
120
=D7-D6
=C6/E6
7
135
8
Sum
=SUM(C2:C6)
b) Presenter resultatene i tabellen i et egnet diagram.
Løsning
Vi velger å presentere resultatene i et histogram. Vi lager lister av kolonnen med klassegrenser og kolonnen med histogramhøyder fra oppgaven over.
c) Finn medianen ved å bruke enkeltmålingene av farten.
Løsning
Vi setter opp resultatene i stigende rekkefølge.
Målt hastighet på 20 biler, sortert
89,8
92,0
95,2
95,5
99,2
101,2
101,5
102,7
103,8
103,8
104,1
105,0
106,3
108,4
110,0
113,4
114,9
119,9
120,2
131,7
Medianen blir gjennomsnittet av tiende og ellevte måling, som er uthevet i tabellen over.
Medianen er
103,8km/t+104,1km/h2=103,95km/h≈104,0km/h
d) Finn medianen ved å bruke det klassedelte materialet.
Løsning
A
B
C
1
Fart i km/h
Frekvens
Kumulativ frekvens
2
[80, 100⟩
5
5
3
[100, 105⟩
7
12
4
[105, 110⟩
3
15
5
[110, 120⟩
3
18
6
[120, 135⟩
2
20
7
8
Sum
20
A
B
C
1
Fart i km/h
Frekvens
Kumulativ frekvens
2
[80, 100⟩
5
=B2
3
[100, 105⟩
7
=C2+B3
4
[105, 110⟩
3
=C3+B4
5
[110, 120⟩
3
=C4+B5
6
[120, 135⟩
2
=C5+B6
7
8
Sum
=SUM(B2:B6)
Medianen er den midterste observasjonsverdien når alle observasjonsverdiene er sortert i stigende rekkefølge. I denne oppgaven har vi 20 fartsmålinger. Siden vi nå har et gruppert materiale, bruker vi ikke gjennomsnittet av tall nummer 10 og 11, men det første tallet, tall nummer 10. Vi legger til en kolonne med kumulativ frekvens i tabellen. Da ser vi at tall nummer 10 må ligge i intervallet [100,105〉. Tall nummer 10 ligger 10-5=5 plasser fra venstre klassegrense.
Medianhastigheten blir
100+57·5km/h≈103,6km/h
e) Forklar hvorfor medianverdiene i de to forrige oppgavene er ulike.
Løsning
I den første oppgaven bruker vi enkeltmålingene til å finne medianen. I den andre oppgaven finner vi først i hvilken gruppe medianen ligger. Vi beregner så hvor i gruppa medianen omtrent må ligge. Ved denne beregningen forutsetter vi at målingene i gruppa fordeler seg jevnt. Dette blir ikke helt nøyaktig, og svarene vil i de fleste tilfeller være ulike.
f) Finn den gjennomsnittlige farten både ved å bruke enkeltmålingene og ved å bruke tallmaterialet når det er gruppert. Forklar hvorfor det blir forskjell på tallene.
Løsning
Gjennomsnittsfart med enkeltmålingene: 105,9 km/h
Gjennomsnittsfart med grupperte tall: 104,5 km/h
Se det nedlastbare GeoGebra-arket til oppgaven.
I den første utregningen finner vi den nøyaktige gjennomsnittsfarten av de 20 målingene. I den andre bruker vi klassemidtpunktet og beregner gjennomsnittsfarten ut fra dette. Vi antar dermed at målingene i hver klasse fordeler seg jevnt, noe som gir en viss unøyaktighet.
g) Statens vegvesen ønsker å finne spredningen i hvor fort bilene kjører på denne strekningen. Hvilken av de to typene standardavvik bør de bruke: vanlig standardavvik eller utvalgstandardavvik?
Løsning
Valget av type standardavvik kommer an på hvordan tallene skal brukes. Statens vegvesen ønsker å si noe om hvor fort (alle) bilene kjører på denne vegstrekningen. De har ikke kapasitet til å måle alle bilene som kjører, så de har målt et utvalg av dem. Derfor blir det mest riktig å bruke utvalgstandardavvik i denne situasjonen.
Dersom målet hadde vært å si noe om spredningen kun på de 20 bilene som ble målt, ville det ha vært mest riktig å bruke det vanlige standardavviket (populasjonsstandardavviket).
h) Finn standardavviket på to måter: ved å bruke enkeltverdiene og ved å bruke den grupperte inndelingen. Sammenlign verdiene.
Løsning
Standardavvik med enkeltmålingene: 10,3 km/h
Standardavvik med grupperte tall: 11,5 km/h
Se det nedlastbare GeoGebra-arket til oppgaven.
Her blir det også litt forskjellig svar siden det første tallet er basert på enkeltmålingene og det andre på tallene når de er gruppert.