Oppgave

Funksjoner, likninger og ulikheter av andre grad

Det er nær sammenheng mellom funksjoner, likninger og ulikheter av andre grad. Kvadratsetningene er noe av det som binder dem sammen. Du kan utforske dette i oppgavene nedenfor.

3.3.10

Løs oppgaven uten hjelpemidler.

Vi har gitt funksjonen

$f (x) = x^{2} - 3 x - k, x \in ⟨ - 2, 5 ⟩$

a) Sett $k = 4$ . Finn nullpunktene til funksjonen ved å løse likningen $f (x) = 0$ .

Vis løsning

Med $k = 4$ får vi $f (x) = x^{2} - 3 x - 4$ . Vi løser med andregradsformelen:

$\begin{array}{rcl} x^{2} - 3 x - 4 & = & 0 \\ x & = & \frac{- (- 3) \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1} \\ = & \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} \\ = & \frac{3 \pm 5}{2} \\ x & = & \frac{3 + 5}{2} eller x = \frac{3 - 5}{2} \\ x & = & 4 eller x = - 1 \end{array}$

b) Hva må $k$ være for at $x = 1$ skal være et nullpunkt?

Vis løsning

Hvis $x = 1$ skal være et nullpunkt, betyr det at $f (1) = 0$ . Vi setter inn 1 for $x$ i funksjonen og setter den lik 0.

$\begin{array}{rcl} f (1) & = & 0 \\ 1^{2} - 3 \cdot 1 - k & = & 0 \\ 1 - 3 - k & = & 0 \\ - 2 & = & k \end{array}$

c) Hva må $k$ være for at funksjonsverdiene til $f$ skal være negative mellom 0 og 3?

Tips

En andregradsfunksjon endrer fortegn bare i nullpunktene. (Tenk over hvorfor det er sånn!) Derfor må vi finne ut hva $k$ må være for at nullpunktene skal være 0 og 3.

Vis løsning

Vi vet at et andregradsuttrykk kan faktoriseres ved hjelp av nullpunktene ved å skrive $(x - x_{1}) (x - x_{2})$ der $x_{1}$ og $x_{2}$ er nullpunktene til den tilsvarende andregradsfunksjonen. Vi prøver dette her.

$\begin{array}{rcl} (x - 0) (x - 3) & = & x^{2} - 3 x - k \\ x (x - 3) & = & x^{2} - 3 x - k \\ x^{2} - 3 x & = & x^{2} - 3 x - k \\ 0 & = & - k \\ k & = & 0 \end{array}$

Når vi også vet at $f$ har et bunnpunkt, viser dette at funksjonsverdiene til $f$ er negative mellom 0 og 3 når $k = 0$ .

d) Hva må $k$ være for at $x^{2} - 3 x - k$ skal være et fullstendig kvadrat?

Vis løsning

Alternativ 1 – direkte faktorisering

Vi lager et fullstendig kvadrat og følger måten som er brukt på siden Faktorisering av andregradsuttrykk ved å lage fullstendige kvadrater der vi bestemmer hva leddet $b$ i kvadratsetningen skal være.

$x^{2} - 3 x + b^{2} - b^{2} - k$

Vi får, dersom vi sammenlikner med andre kvadratsetning ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ , at

$\begin{array}{rcl} - 2 b & = & - 3 \\ b & = & \frac{3}{2} \end{array}$

De tre første leddene i $x^{2} - 3 x + b^{2} - b^{2} - k$ kan da skrives som

$x^{2} - 3 x + b^{2} = x^{2} - 3 x + {(\frac{3}{2})}^{2} = {(x - \frac{3}{2})}^{2}$

og er et fullstendig kvadrat. Det betyr at summen av de to siste leddene må være lik null for at hele uttrykket skal være et fullstendig kvadrat.

$\begin{array}{rcl} - b^{2} - k & = & 0 \\ - {(\frac{3}{2})}^{2} & = & k \\ - \frac{9}{4} & = & k \end{array}$

Alternativ 2 – andregradsformelen

I et fullstendig kvadrat har vi bare én løsning på likningen $f (x) = 0$ . Det betyr at rottegnet i andregradsformelen må være null.

$\begin{array}{rcl} \sqrt{b^{2} - 4 a c} & = & 0 \\ \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- k)} & = & 0 \\ \sqrt{9 + 4 k} & = & 0 \\ 9 + 4 k & = & 0 \\ 4 k & = & - 9 \\ k & = & - \frac{9}{4} \end{array}$

I overgangen mellom den tredje og den fjerde linja har vi brukt at dersom kvadratroten av noe skal være null, må dette "noe" være null.

e) Hva må $k$ være for at grafen til funksjonen skal gå gjennom punktet (1, 3)?

Vis løsning

Dersom funksjonen skal gå gjennom punktet (1, 3), må vi ha at

$\begin{array}{rcl} f (1) & = & 3 \\ 1^{2} - 3 \cdot 1 - k & = & 3 \\ 1 - 3 - k & = & 3 \\ - k & = & 3 + 3 - 1 \\ - k & = & 5 \\ k & = & - 5 \end{array}$

f) Finn på et annet vilkår til funksjonen, og finn ut hva $k$ må være for at vilkåret skal bli oppfylt.

g) Bruk GeoGebra eller lignende til å lage en glider for konstanten $k$ . Skriv inn funksjonen $f$ med konstanten $k$ og observer hvordan grafen endrer seg når $k$ varieres. Gå gjennom oppgavene over ved hjelp av dette GeoGebra-arket.

3.3.11

Bruk GeoGebra eller tilsvarende når du løser disse oppgavene.

I et koordinatsystem har vi to punkt, $A (2, 3)$ og $B (4, 6)$ .

a) Kan du finne ei rett linje som går gjennom de to punktene? Kall funksjonsuttrykket til linja for $f (x)$ .

Vis løsningsforslag

Vi tegner punktene inn i GeoGebra og bruker verktøyet "Linje mellom to punkt".

Koordinatsystem der den rette linja y er lik 1,5 x går gjennom punktet A med koordinater 2 og 3 og punktet B med koordinater 4 og 6. Skjermutklipp. — Rett linje gjennom punktene A og B. Image: Tove Annette Holter / CC BY-NC-SA 4.0

Vi får at $f (x) = 1, 5 x$ .

(Verktøyet for rett linje lager egentlig ikke en funksjon i GeoGebra, men det bryr vi oss ikke om nå.)

b) Kan du finne en andregradsfunksjon der grafen går gjennom de to punktene? Kall funksjonsuttrykket for $g (x)$ .

Tips

Oppgaven kan løses på flere måter. Én måte er å bruke regresjon, men da kreves det ett punkt til i tillegg til $A$ og $B$ .

Hvorfor tror du regresjonsverktøyet krever ett punkt til?

Vis løsningsforslag

Vi trenger ett punkt til og velger for eksempel punktet $C (- 2, 3)$ .

Koordinatsystem der den rette linja y er lik 1,5 x går gjennom punktet A med koordinater 2 og 3 og punktet B med koordinater 4 og 6. I tillegg går andregradsfunksjonen g av x er lik 0,25 x i andre pluss 2 gjennom de to punktene. Skjermutklipp. — Grafen til en andregradsfunksjon og ei rett linje som begge går gjennom punktene A og B. Image: Tove Annette Holter / CC BY-NC-SA 4.0

Vi bruker kommandoen $g(x) = RegPoly({A, B, C}, 2)$ .

Med valget vårt av punkt $C$ , får vi funksjonen $g (x) = 0, 25 x^{2} + 2$ .

Spiller rekkefølgen på punktene i kommandoen noen rolle?

c) Løs likningen $f (x) = g (x)$ .

Vis løsningsforslag

Her slipper vi å regne siden vi vet at løsningen er punktene $A$ og $B$ . Løsningen blir altså

$x = 2$ eller $x = 4$

d) Løs ulikheten $f (x) > g (x)$ .

Vis løsningsforslag

Med vårt valg av punkt $C$ ser vi at $f$ ligger over $g$ i området mellom punktene $A$ og $B$ . Løsningen på ulikheten blir derfor

$x \in 〈 2, 4 〉$

e) Kan du finne en annen andregradsfunksjon $g_{2} (x)$ der grafen går gjennom punktene $A$ og $B$ og som er slik at $g_{2} (x) > f (x)$ i det området der $f (x) > g (x)$ ?

Tips

Her må vi finne en andregradsfunksjon der grafen krummer den andre veien enn i forrige oppgave. Da må det tredje punktet vi trenger (vi kaller det $D$ ) for å få gjort regresjonen, ligge et helt annet sted enn punkt $C$ , men hvor?

Vis løsningsforslag

Vi får dette til ved å plassere et tredje punkt $D$ slik at det kommer til høyre for $A$ og $B$ (og motsatt dersom du plasserte punkt $C$ til høyre for $A$ og $B$ til å begynne med). Regresjonskommandoen her blir $g_2(x) = RegPoly({A, B, D}, 2)$ .

Med vårt valg av punkt $D$ får vi funksjonen

$g_{2} (x) = - 0, 75 x^{2} + 6 x - 6$

f) Hvor mange mulige rette linjer kan vi lage i oppgave a)? Hvor mange mulige andregradsfunksjoner kan vi lage der grafene går gjennom punktene $A$ og $B$ ?

Vis løsningsforslag

Ei rett linje er entydig bestemt av to punkt på linja. Altså finnes det bare én mulig funksjon her. For andregradsfunksjonen finnes det uendelig mange løsninger siden vi kan velge det tredje punktet (nesten) hvor som helst.

g) Flytt på punkt $C$ med musepekeren og observer hvordan grafen til andregradsfunksjonen $g$ endrer seg. Prøv å lage regler for hvor $C$ må være for at $g$ skal ha et bunnpunkt og regler for at $g$ skal ha et toppunkt. Er det noen steder punkt $C$ ikke kan være uansett (i tillegg til at $C$ ikke kan sammenfalle med $A$ eller $B$ )?

Delvis løsning

I tillegg til at $C$ ikke kan sammenfalle med $A$ eller $B$ , kan heller ikke $C$ ha samme $x$ -koordinat som $A$ eller $B$ . (Hva er grunnen?)

h) Kan du lage en grafisk framstilling som viser hvilket område i koordinatsystemet punktet $C$ kan ligge i?

i) Kan du finne en tredjegradsfunksjon der grafen går gjennom de to punktene? Hva med en fjerdegradsfunksjon?

Delvis løsning

For hver grad høyere funksjonen blir, trenger vi et ekstra punkt til regresjonskommandoen. Vi trenger ett mer punkt enn graden på polynomfunksjonen, og når disse punktene kan velges fritt, får vi uendelig mange tredje- og fjerdegradsfunksjoner som går gjennom de to punktene $A$ og $B$ .

3.3.10

3.3.11

Rules for use of text "Funksjoner, likninger og ulikheter av andre grad"