Fagstoff
Momentan vekstfart. Den deriverte
Vi ønskjer no å utvikle ein metode for å finne ein nøyaktig verdi for den momentane vekstfarten til ein funksjon. Vi skal da nytte oss av same prinsipp som vi brukte for å finne ein tilnærma verdi for den momentane vekstfarten.
Vi tar utgangspunkt i ein tilfeldig funksjon f(x) og plottar grafen av funksjonen. Vi vel ein tilfeldig x- verdi og får eit punkt på kurva
.
Vi ønskjer å finne vekstfarten til funksjonen for akkurat denne x- verdien. Vi gir x eit tillegg 
, og vi får eit nytt punkt på kurva 
.
Vi trekkjer ein sekant (grøn linje) gjennom punkta A og B.
Vi reknar ut stigingstalet for denne linja:
, og vi får eit nytt punkt på kurva .Vi trekkjer ein sekant (grøn linje) gjennom punkta A og B.
Vi reknar ut stigingstalet for denne linja:
Vi har då funne eit uttrykk for gjennomsnittleg vekstfart frå x til
.Vi lar no punktet B nærme seg punktet A. Vi lar altså
gå mot 0.Du kan opne vedlegget Sekant-Tangent.ggb i høgrekolonna i GeoGebra. Der kan du "dra" punktet B langs grafen mot punktet A. Kva ser du?
Du ser at sekanten (grøn) gradvis nærmar seg til å bli ein tangent (raud linje) til kurva i A.Stigingstalet (brattheita) til denne tangenten fortel kor fort kurva veks akkurat her. Vi kallar dette stigingstalet for den momentane veksten eller den deriverte av f. Vi skriv
og les f-derivert av x. Legg merke til derivertteikna.Vi kan formulere definisjonen av den deriverte på følgjande måte:
Vi ser på teikninga ovanfor. er den verdien som 
nærmar seg mot når går mot 0.
Hugs også at den deriverte er stigingstalet til tangenten.
Hugs også at den deriverte og den momentane vekstfarten er det same.
Korleis finne verdiar for momentan vekstfart (den deriverte) grafisk
Den momentane vekstfarten eller den deriverte av 
når til dømes x = 0,5, er altså det same som stigingstalet for tangenten til kurva når x = 0,5.
Vi kan finne ein verdi for denne vekstfarten grafisk ved å teikne grafen av f og tangenten til f når x = 0,5.
når til dømes x = 0,5, er altså det same som stigingstalet for tangenten til kurva når x = 0,5.Vi kan finne ein verdi for denne vekstfarten grafisk ved å teikne grafen av f og tangenten til f når x = 0,5.
.Korleis rekne ut verdiar for den deriverte ved å bruke definisjonen
Vi vil no rekne oss fram til den deriverte av når x = 0,5. Vi hugsar definisjonen av den deriverte: er den verdien som nærmar seg mot når går mot 0.
Dette tyder at når , så er 
.Vi kan da finne 
. Dette var det same som vi fann grafisk.
TilråKompetansemål
Tverrfagleg relatert
Andre ressursar
Frå NyGiv
Nøkkelord
Inngår i
Oppgåver frå deling.ndla.no
Du kan bli den første som lagar ei oppgåve til denne sida
Lag oppgåve
