Polynomfunksjonar

Uttrykket er eit polynom av første grad fordi x er av første grad. Uttrykket er eit polynom av andre grad fordi vi har eit ledd der x er opphøgd i andre potens. Talet 2 er den høgste eksponenten x har. Eit døme på eit tredjegradspolynom er , fordi den høgste eksponenten av x er 3.

Det er vanleg å ordne eit polynom slik at leddet med den høgste eksponenten kjem først, leddet med nest høgst eksponent kjem som nummer 2 osb. Fjerdegradspolynomet skriv vi på ordna form som . Tala framfor potensane av x kallar vi for koeffisientar. Det tyder at koeffisienten framfor .

Generelt om polynomfunksjonar

Vi teiknar grafen av tredjegradsfunksjonen . 

Nullpunkt

Nullpunkta viser kor grafen skjer x-aksen. Nullpunkta er (-2.2, 0), (-0.8, 0) og (1.6 , 0). 

Skjering med y-aksen

Grafen skjer y-aksen når x = 0. Skjeringspunktet er (0, -1). 

Ekstremalpunkt

Toppunkt: (-1.6, 0.5).     Botnpunkt: (0.6, -1.3)

For andregradsfunksjonar sa vi at ein funksjon hadde sin lågaste verdi i botnpunktet og høgste verdi i toppunktet. Ein tredjegrasfunksjon kan ha høgre verdiar enn i toppunktet andre stader på grafen. Men vi seier likevel at grafen har eit toppunkt, sjølv om det berre er lokalt.

Skjering med andre grafar

Vi finn skjering mellom grafar som vi gjorde ved lineære funksjonar.

Eit praktisk døme på ein polynomfunksjon av 3. grad

Tenk deg at du skal lage ei eske utan lokk av ei kvadratisk papplate med sidelengder på 60 cm.

Du må da klippe bort eit kvadrat i kvart hjørne. Du må klippe bort dei 4 blå kvadrata på teikninga. Dei grøne rektangla brettar vi opp, og vi får ei eske med det gule kvadratet som botn.

Kva slags eske du får avheng av kor store kvadrat du klipper bort. Vi kallar sidene i kvadrata du klipper bort, for x.

Dersom x er stor, vil eska få ein liten botn, men blir desto høgre. Dersom x er liten, vil eska få stor botn, men ho vil bli låg.

Volumet av eska vil vere avhengig av x. Det vil seie at volumet er ein funksjon av x. Vi vil finne ein formel for denne funksjonen.

Botnen til eska blir eit kvadrat med side  60 - 2x. Det kan vi lese ut av teikninga. Arealet av botnen, det vi kallar grunnflata, blir då

Høgda i eska blir x. Vi må gonge grunnflata med høgda for å få volumet.

Volumet er altså ein polynomfunksjon av tredje grad. Vi ser også at x må liggje mellom 0 og 30 cm for at vi skal få ei eske. Definisjonsmengda er frå 0 til 30. Dersom x er lik 0, klipper vi ikkje bort noko, og dersom x er lik 30 cm, så får vi ingen botn.

Vi teiknar no grafen av volumfunksjonen.

 

Vi ser av grafen at verdimengda til V er frå 0 til 16 000. Det vil seie at volumet av eska ligg mellom 0 cm³ og 16 000 cm³.

Døme på informasjon vi kan lese ut av grafen:

• Dersom vi ønskjer ei eske med størst mogleg volum, må vi klippe bort kvadrat med sider 10 cm.
• Dersom vi ønskjer esker med volum lik 8000 cm³, må vi klippe bort kvadrat med sider 2,68 cm eller 20,0 cm.
• Vi kan også gå motsett veg og lese av kor stort volum ein bestemt verdi for x gir.