Når vi skal løse eksponentiallikninger uten bruk av digitale verktøy, bruker vi at logaritmen til en potens er lik eksponenten multiplisert med logaritmen til grunntallet

$$\lg a^x=x·\lg a$$

Vi kan bevise at denne sammenhengen gjelder ved å ta utgangspunkt i definisjonen av logaritmer og regnereglene for potenser.

Bevis

Definisjonen av logaritmer gir at $$a={10}^{\lg a}$$.

Vi bruker så regnereglene for potenser og får

$$a^x={\left({10}^{\lg a}\right)}^x={10}^{\left(\lg a\right)·x}={10}^{x·\lg a}$$

Du må altså opphøye $$10$$ i $$\left(x·\lg a\right)$$ for å få $$a^x$$.

Det betyr etter definisjonen at

$$\lg a^x=x·\lg a$$

Setningen er nå bevist.

Vi kan bruke setningen til å løse eksponentiallikninger.

Gitt eksponentiallikningen

$$3^x=27$$

Siden logaritmen til to like tall er like, er

$$\lg 3^x=\lg 27$$

Logaritmesetningen sier at da er

$$x·\lg 3=\lg 27$$

Det gir løsningen på eksponentiallikningen

$$x=\frac{\lg 27}{\lg 3}=\frac{\lg 3^3}{\lg 3}=\frac{3·\cancel{\lg 3}}{\cancel{\lg 3}}=3$$

På grunn av at $$27=3^3$$ kan vi bruke logaritmesetningen og sette $$\lg 27=\lg 3^3=3·\lg 3$$ . Da kan vi forkorte med $$\lg 3$$ i teller og nevner, slik at vi får en løsning av likningen.

Hvis ikke tallene i likningen hadde vært så spesielle, hadde vi ikke kunnet løse likningen uten bruk av digitale verktøy. Grunnen er at vi trenger et digitalt verktøy for å finne logaritmen til de fleste tall.

Det er bare tall som $$10, 100, 1000$$ osv. som vi kjenner logaritmene til.

Nedenfor viser vi to eksempler på eksponentiallikninger som lar seg løse uten bruk av digitale verktøy.