1. Home
  2. 1T - Matematikk fellesfagChevronRight
  3. Tall og algebraChevronRight
  4. Faktorisere andregradsuttrykk ved hjelp av nullpunktmetodenChevronRight
  5. Likninger med rasjonale uttrykkChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Likninger med rasjonale uttrykk

Hvordan vi kan løse likninger som inneholder rasjonale uttrykk?

En brøk er ikke definert når nevneren er lik null. Vi må derfor være spesielt oppmerksomme når vi løser likninger med rasjonale uttrykk hvor den ukjente opptrer i nevneren.

Vi ser på følgende likning

12x-2+2x-3=x-2x2-4x+3

Fellesnevneren til disse brøkene er 2x-1x-3. Du kan se hvordan vi kommer fram til det på siden Mer om forenkling av rasjonale uttrykk, der vi har de samme brøkene.

Eventuelle løsninger som gir x=1 eller x=3 må da forkastes fordi en eller flere av brøkene ikke er definert for disse x-verdiene. Før vi går i gang og løser likningen, markerer vi dette ved å skrive x1, x3, øverst til høyre. (Se nedenfor.)

Så går vi i gang med selve løsningen. Det første vi gjør, er å multiplisere med fellesnevneren på begge sider av likhetstegnet. Hvorfor er dette lurt? Jo, fordi vi da kan forkorte brøkene og står igjen med en likning uten rasjonale uttrykk.

12x-2+2x-3=x-2x2-4x+3               ,             x1,  x3

1·2·x-1x-32x-1+2·2x-1x-3x-3 = (x-2)·2x-1x-3x-1x-3                              x-3+4x-1=x-2·2                                x-3+4x-4=2x-4                                  x+4x-2x=-4+3+4                                            3x=3                                              x=1

Likningen har ingen løsning fordi en eller flere av brøkene ikke er definert for x=1.

Legg merke til hvor enkel likningen blir så fort du har multiplisert med fellesnevneren på begge sider av likhetstegnet!

Før vi går videre, skal vi se på en veldig viktig forskjell.

På siden Mer om forenkling av rasjonale uttrykk viser vi hvordan vi trekker sammen og forkorter uttrykket

12x-2+2x-3-x-2x2-4x+3

På siden her har vi vist hvordan vi løser likningen

12x-2+2x-3=x-2x2-4x+3

Merk deg forskjellen på disse to! Den ene er et uttrykk, den andre er en likning. Her er det fort gjort å gjøre feil!

I begge tilfeller finner vi først fellesnevneren. Men hva gjør vi så?

Da vi løste likningen, multipliserte vi med fellesnevneren på begge sider av likhetstegnet og fikk en enkel likning uten brøker. Dette kan vi gjøre i en likning fordi vi kan multiplisere med samme uttrykk på begge sider i en likning og fortsatt beholde likhet mellom venstresiden og høyresiden.

Når vi skal trekke sammen og forkorte et uttrykk, kan vi imidlertid ikke multiplisere med fellesnevneren fordi uttrykket da endrer verdi. Det vi gjorde her, var å utvide hver av brøkene slik at alle fikk samme nevner, fellesnevneren. Så satte vi på felles brøkstrek og trakk sammen.

Løse likninger med rasjonale uttrykk i GeoGebra. Bilde.

Ved CAS i GeoGebra får vi også som resultat at likningen ikke har løsning. Legg merke til hvordan dette markeres forskjellig ettersom vi bruker kommandoene «Løs» eller «NLøs».

Læringsressurser

Faktorisere andregradsuttrykk ved hjelp av nullpunktmetoden