1. Home
  2. 1T - Matematikk fellesfagChevronRight
  3. Tall og algebraChevronRight
  4. Faktorisere andregradsuttrykk ved hjelp av nullpunktmetodenChevronRight
  5. Faktorisering av andregradsuttrykk ved hjelp av nullpunktmetodenChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Faktorisering av andregradsuttrykk ved hjelp av nullpunktmetoden

Vi kan faktorisere andregradsuttrykk ved en metode som kalles nullpunktmetoden. Vi illustrerer metoden gjennom to eksempler.

Eksempel 1

Vi ser på andregradsuttrykket x2-2x-8.

Vi starter med å finne nullpunktene.

Vi løser da likningen x2-2x-8=0

x2-2x-8 = 0           x=--2±-22-4·1·-82·1           x=2±4+322           x=2±62           x1=2-62=-2           x2=2+62=4

Uttrykket  x2-2x-8  er altså lik null når  x=-2  og når  x=4.
Ser du at uttrykket  x--2x-4=x+2x-4  også er lik null når  x=-2  og når  x=4?

Vi multipliserer og ser at

x+2x-4=x2-4x+2x-8=x2-2x-8

Vi har da at

x2-2x-8=x+2x-4

Andregradsuttrykket er faktorisert!

Er dette en metode vi kan bruke for å faktorisere alle andregradsuttrykk?

Vi prøver med et nytt eksempel!

Eksempel 2

Vi ser på uttrykket  2x2-x-3.

Vi starter igjen med å finne nullpunktene, og løser likningen  2x2-x-3=0.

2x2-x-3 = 0           x=--1±-12-4·2·-32·2           x=1±254           x1=1-54=-1           x2=1+54=64=32

Uttrykket  2x2-x-3  er altså lik null når  x=-1  og når  x=32.

Vi prøver samme metode som i forrige eksempel og ser at uttrykket  x+1x-32  også er lik null når  x=-1  og når x=32.

Vi multipliserer og får

x+1x-32=x2-32x+x-32=x2-12x-32

Dette er ikke det samme andregradsuttrykket som vi startet med.

Vi startet med

2x2-x-3

Når vi multipliserer ut parentesene, får vi

x2-12x-32

Ser du at vi kan multiplisere det siste uttrykket med 2, og få det andregradsuttrykket vi startet med?

x2-12x-32·2=2·x2-2·12x-2·32=2x2-x-3

Vi har da at

2x2-x-3=2x+1x-32

Andregradsuttrykket er faktorisert!

Hvis vi ønsker et uttrykk uten brøk, kan vi multiplisere 2-tallet inn i den siste parentesen

2x2-x-3=2x+1x-32=x+12x-3

Vi ser fort at vi må multiplisere med 2, fordi det siste uttrykket inneholder leddet x2, mens det polynomet vi startet med, inneholder leddet 2x2.

Den metoden vi har brukt for å faktorisere i de to eksemplene ovenfor, kalles nullpunktmetoden. Du skjønner kanskje hvorfor?

Nullpunktmetoden

ax2+bx+c=ax-x1x-x2

der x1 og x2 er løsningene av den generelle andregradslikningen ax2+bx+c=0.

Når det bare finnes én løsning av andregradslikningen, er  x1=x2.
Når andregradslikningen ikke har løsninger, kan ikke uttrykket faktoriseres.

Ved CAS i GeoGebra får vi

Faktorisering av andregradsuttrykket 2 x i andre minus x minus 3 med kommandoen Faktoriser i GeoGebra. Skjermutklipp.

Ikke glem at a må være med i det faktoriserte uttrykket! Hvor er det blitt av tallet a foran parentesene når vi bruker CAS til å faktorisere uttrykket i eksempel 2?

Læringsressurser

Faktorisere andregradsuttrykk ved hjelp av nullpunktmetoden