1. Home
  2. 1T - Matematikk fellesfagChevronRight
  3. FunksjonerChevronRight
  4. Vekstfart og derivasjonChevronRight
  5. DerivasjonsreglerChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Derivasjonsregler

Det er ikke nødvendig å bruke definisjonen av den deriverte hver gang vi skal derivere et utrykk. Ved å bruke definisjonen på noen generelle uttrykk, kan vi komme fram til generelle derivasjonsregler. Det er disse formlene vi vanligvis bruker, og det er veldig viktig at du lærer deg dem!

Den deriverte til en konstant funksjon

Grafen til en konstant funksjon

Grafen til en konstant funksjon er en linje parallell med x-aksen. En slik linje har stigning lik null. Derfor er den deriverte til en konstant funksjon lik null.

Vi får som generell regel

Funksjonstype
Funksjon
Den deriverte funksjonen
Konstant funksjon
f(x)=k
f'(x)=0

Eksempel 1

f(x) = 3f'(x)=0

Eksempel 2

f(x) = πf'(x)=0

Eksempel 3

f(x) = 3π2f'(x)=0

Den deriverte til en potensfunksjon

Vi vil finne den deriverte funksjonen til f(x)=x2. Vi bruker definisjonen

f'x = limΔx0ΔyΔx=limΔx0fx-Δx-fxΔx=limΔx0x-Δx2-x2Δx=limΔx0x2+2·x·Δx+Δx2-x2Δx=limΔx02·x·Δx+Δx2Δx=limΔx0Δx2·x+ΔxΔx=limΔx02x+Δx=2x

Vi har vist at x2'=2x. Tilsvarende kan vi vise at x3'=3x2 og at x4'=4x3.

Ser du mønsteret? Det kan vises at generelt er xn'=nxn-1 uansett hvilket tall n er.

Funksjonstype
Funksjon
Den deriverte funksjonen
Potensfunksjon f(x)=xn
f'(x)=n·xn-1

Eksempel 1

fx = x2f'x=2x2-1=2x1=2x

Eksempel 2

fx = x3f'x=3x3-1=3x2

Eksempel 3

fx = x5f'x=5x4

Potensfunksjon multiplisert med konstant

Det kan vises at følgende regel gjelder for produktet mellom en konstant og en potensfunksjon.

FunksjonstypeFunksjon
Den deriverte funksjonen
Potensfunksjon multiplisert
med konstant
f(x)=k·xn
f'(x)=k·xn'=k·n·xn-1

Eksempel 1

fx = 3x2f'x=3·x2'=3·2x=6x

Eksempel 2

fx = 3x4f'x=3·4·x4-1=12x3

Den deriverte til summer og differenser

Det kan vises at vi kan derivere summer og differenser ved å derivere ledd for ledd.

FunksjonstypeFunksjon
Den deriverte funksjonen
Summer og differanser f(x)=g(x)+h(x)
f'(x)=g'(x)+h'(x)

Eksempel 1

fx = 3-x2f'x=0-2x=-2x

Eksempel 2

fx = x3+5x2f'x=3x2+5·2x=3x2+10x

Eksempel 3

fx = ax+bf'x=a

Derivasjon av polynomfunksjoner

Ved å bruke reglene ovenfor er du nå i stand til å derivere alle polynomfunksjoner.

Legg merke til siste eksempel. Den deriverte til en rett linje er lik stigningstallet til linjen.

Læringsressurser

Vekstfart og derivasjon