Hopp til innhold

  1. Home
  2. 1T - Matematikk fellesfagChevronRight
  3. FunksjonerChevronRight
  4. Ikke-lineære funksjonstyperChevronRight
  5. AndregradsfunksjonerChevronRight
TasksAndActivitiesOppgaver og aktiviteter

Oppgave

Andregradsfunksjoner

4.3.1

a) Se på de fire funksjonsuttrykkene nedenfor og finn ut ved regning

  • hvilken vei grafene til funksjonene krummer (smileller sur )
  • hvilke av grafene som har toppunkt og hvilke som har bunnpunkt
  • hvor grafene skjærer andreaksen
  • likningen for symmetrilinja til hver av grafene
  • koordinatene til topp
  • eller bunnpunktet til hver av grafene
  • verdimengden til funksjonene
  • nullpunktene til funksjonene

fx=x2-7x+12

vis fasit

Når fx=ax2+bx+c og a>0, vil grafen vende sin hule side opp (smile). Grafen vil da ha et bunnpunkt. Grafen skjærer andreaksen i 12 fordi konstantleddet, c=12.

Symmetrilinja er x=-b2a=72

Bunnpunkt har koordinater 72, f72=72, -14

f72=722-7·72+12=-14

Verdimengden blir da -14, 

For å finne nullpunktene løser vi likningen

fx=0x2-7x+12=0x=7±72-4·122=7±12x1=3   x2=4

Nullpunktene er 3 og 4.

gx=-2x2+2x+4

vis fasit

Når fx=ax2+bx+c og a<0, vil grafen vende sin hule side ned (sur). Grafen vil da ha et toppunkt. Grafen skjærer andreaksen i 4 fordi konstantleddet, c=4.

Symmetrilinja er x=-22·-2=12

Toppunkt har koordinater

(12, 92)

Verdimengden blir da ,92

For å finne nullpunktene løser vi likningen

gx = 0-2x2+2x+4=0x=-2±-22-4·-2·42·-2=-2±6-4x1=-1   x2=2

Nullpunktene er -1 og 2.

hx=-x2-8

vis fasit

Når fx=ax2+bx+c og a<0, vil grafen vende sin hule side ned (sur). Grafen vil da ha et toppunkt. Grafen skjærer andreaksen i -8 fordi konstantleddet, c=-8.

Symmetrilinja: x=-b2a=0-2=0

Toppunkt faller da sammen med skjæring med andreaksen: 0, -8

Verdimengden: ,-8

Grafen til ligger h under x-aksen. Vf=,-8 Funksjonen har derfor ingen nullpunkt.

ix=3x2+12x

vis fasit

Når fx=ax2+bx+c og a>0, vil grafen vende sin hule side opp (smile). Grafen vil da ha et bunnpunkt. Grafen skjærer andreaksen i 0 fordi konstantleddet, c=0

Symmetrilinja blir x=-b2a=-122·3=-2

Bunnpunktet har koordinater -2,i-2=-2,-12

i-2=3·-22+12·-2=-12

Verdimengden blir da -12,

For å finne nullpunktene løser vi likningen

ix = 03x2+12x=03xx+4=0x1=-4   x2=0

Nullpunktene er - 4 og 0.

b) Sjekk svarene i a) ved å tegne grafene til funksjonene i et koordinatsystem.

vis fasit
Grafer. Illustrasjon.

4.3.2

Funksjonen f er gitt ved fx=x2+x-6 for x-verdier mellom -4 og 3.

a) Tegn grafen til f.

vis fasit
Graf. Illustrasjon.

b) Bestem bunnpunktet til grafen til f grafisk og ved regning.

vis fasit

Jeg bruker kommandoen «Ekstremalpunktf» i GeoGebra. Vi ser av grafen at bunnpunktet er

Vi ser av grafen at bunnpunktet er 0.5, -6.25.

Ved regning

Symmetrilinja blir x=-12·1=-0,5

y-verdien blir da f-0,5=-0,52-0,5-6=-6,25

Bunnpunktet blir -0.5, -6.25

c) Bestem grafisk hvor grafen til f skjærer koordinataksene.

vis fasit
Graf. Illustrasjon.

Grafen til f skjærer førsteaksen i -3,0 og 2,0

Grafen til f skjærer andreaksen i 0,-6

d) Bestem ved regning hvor grafen til f skjærer koordinataksene.

vis fasit

Grafen skjærer andreaksen når x=0:

f0=-6

Skjæringspunkt 0, -6.

Grafen skjærer andreaksen når y=0

fx = 0x2+x-6=0x=-1±12-4·-62x=-3          x=2

Grafen skjærer førsteaksen i punktene -3, 0 og 2, 0.

e) Hva er verdimengden til f?

vis fasit

I denne oppgaven skulle vi velge x-verdier fra og med -4 til og med 3.

Definisjonsmengden Df til funksjonen blir dermed Df=-4, 3

Den laveste verdien til funksjonen f er -6,25. Vi ser grafisk at den høyeste verdien til funksjonen er 6.

Verdimengden Vf blir dermed Vf=-6.25, 6

4.3.3

Andreas kaster et spyd.

Grafen til funksjonen f gitt ved fx=-0,01x2+0,85x+2,20 beskriver banen spydet følger gjennom luften.

Her er x meter målt langs bakken fra stedet hvorfra Andreas kaster spydet, og fx meter er høyden spydet har over bakken.

a) Tegn grafen til f for x0.

vis fasit

Jeg tegner grafen i GeoGebra ved å skrive inn «fx=Funksjon-0.01x2+0.85x+2.20, 0, 

Graf til funksjon. Illustrasjon.

b) Bestem skjæringspunktene mellom grafen til f og aksene.

Bestem toppunktet på grafen til f.

vis fasit

Jeg finner skjæringspunktene mellom aksene og grafen ved å bruke kommandoen «Skjæring mellom to objekt».

Grafen skjærer x-aksen for x=87,5 og y-aksen for y=2,2.

Jeg finner toppunktet ved å bruke kommandoen «Ekstremalpunkt <Polynom>».

Toppunktet er 42.5, 20.3

c) Hva forteller svarene i b) om spydkastet?

vis fasit

Andreas kaster ut spydet 2,2 meter over bakken. Spydet når en høyde på litt over 20 meter og lengden på kastet er 87,5 meter.

4.3.4

Camilla kaster en ball rett opp i lufta. Etter t sekund er høyden h meter over bakken gitt ved andregradsfunksjonen ht=14,1t-4,9t2+1,8.

a) Tegn grafen til h for de første 3 sekundene.

vis fasit
Andregradsfunksjon. Illustrasjon.

b) Når er ballen 10 meter over bakken?

vis fasit

Jeg tegner linjen y=10. Jeg finner skjæringspunktet mellom denne linjen og grafen til h med kommandoen «Skjæring mellom to objekt». Se punktene D og E.

Ballen er 10 meter over bakken etter 0,8 sekund og etter 2,1 sekund.

c) Når treffer ballen bakken?

vis fasit

Jeg finner nullpunktet med kommandoen «Nullpunkth». Se punkt C. Ballen treffer bakken etter 3 sekund.

d) Når er ballen 15 meter over bakken?

vis fasit

Vi ser av grafen at ballen aldri når denne høyden!

e) Hvor høyt når ballen og når er ballen på sitt høyeste punkt?

vis fasit

Jeg finner toppunktet med kommandoen «Ekstremalpunkth» Se punkt A. Ballen når sitt høyeste punkt etter ca. 1,4 sekund og har da en høyde på 12,0 meter over bakken.

4.3.5

Gitt grafene nedenfor

Andregradspolynomer. Illustrasjon.

Sett riktig bokstav (A, B, C) foran den andregradsfunksjonen du mener tilhører Graf A, Graf B og Graf C. OBS! Tre av funksjonsuttrykkene hører ikke til noen av grafene.

fx = x2-2x+2fx=-x2-2x+2fx=2x2-2x+2fx=-0,5x2-2x+2fx=0,5x2-2x-6fx=-x2+4x-6

vis fasit

B fx = x2-2x+2fx=-x2-2x+2fx=2x2-2x+2A fx=-0,5x2-2x+2fx=0,5x2-2x-6C fx=-x2+4x-6

Læringsressurser

Ikke-lineære funksjonstyper

SubjectEmne

Fagstoff

SubjectEmne

Oppgaver og aktiviteter