Hopp til innhold

  1. Home
  2. 1T - Matematikk fellesfagChevronRight
  3. FunksjonerChevronRight
  4. Ikke-lineære funksjonstyperChevronRight
  5. Rasjonale funksjonerChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Rasjonale funksjoner

Vi skal se at grafen til en rasjonal funksjon ikke er en enkel, sammenhengende graf.

En rasjonal funksjon er en funksjon som kan skrives som en brøk der telleren og nevneren er polynomer.

Eksempel

Funksjonen f gitt ved fx=x-2x+2 er en rasjonal funksjon.

En brøk er ikke definert når nevneren er lik null. Det betyr at f(-2) ikke eksisterer. Grafen har ikke noe punkt for x=-2. Vi sier at grafen har et brudd for x=-2.

Vi tegner grafen til f i GeoGebra, skriver også inn kommandoen «Asymptote[f]».

Graf
Legg merke til at grafen er symmetrisk om skjæringspunktet mellom asymptotene.

Hva er asymptoter?

Når x nærmer seg verdien 2 fra venstre, ser du av grafen at funksjonsverdiene vokser over alle grenser.

Det kan vises at dette er riktig. Funksjonsverdiene nærmer seg ikke en bestemt verdi når x nærmer seg verdien 2 fra venstre, men blir uendelig store.

Vi skriver

fx når x-2-

Vi leser "fx går mot uendelig når x går mot 2 fra venstre".

Tilsvarende viser det seg at funksjonsverdiene synker mot minus uendelig når x nærmer seg 2 fra høyre. Vi skriver

fx- når x-2+

Legg merke til + og - som markerer om x nærmer seg -2 fra venstre eller fra høyre.

Du kan undersøke om dette virker sannsynlig ved å sette inn verdier for x som er veldig nær -2.

Grafen til f består av to deler, en del til venstre for linjen x=-2 og en del til høyre for linjen x=-2. Linjen x=-2 kalles en loddrett, eller vertikal asymptote.

Det kan videre vises at grafen «flater ut» og nærmer seg linjen y=1 når x går mot pluss eller minus uendelig. Det vil si at funksjonsverdiene nærmer seg verdien 1 som grenseverdi når x går mot pluss eller minus uendelig, men uten noen gang å bli lik 1.

Den ene delen av grafen nærmer seg linjen ovenfra og den andre delen nedenfra. De to delene av grafen vil aldri krysse linjen. Linjen y=1 er en vannrett, eller horisontal asymptote.

Læringsressurser

Ikke-lineære funksjonstyper

SubjectEmne

Fagstoff

SubjectEmne

Oppgaver og aktiviteter