Hopp til innhold

  1. Home
  2. 1T - Matematikk fellesfagChevronRight
  3. FunksjonerChevronRight
  4. Ikke-lineære funksjonstyperChevronRight
  5. PolynomfunksjonerChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Polynomfunksjoner

Et polynom av andre grad er for eksempel en andregradsfunksjon, der vi har 𝑥 i andre potens. Tilsvarende kan et polynom av tredje grad være en tredjegradsfunksjon, der vi har 𝑥 i tredje potens.

Definisjon

Et polynom er et uttrykk med ett eller flere ledd der hvert ledd består av en konstant multiplisert med xn, der n er et ikke-negativt heltall. Den høyeste eksponenten i uttrykket gir oss graden til polynomet. Uttrykket  x-4+2x3  er et tredjegradspolynom, fordi den høyeste eksponenten i uttrykket er tre.

En polynomfunksjon er en funksjon som har et polynom som funksjonsuttrykk.

Uttrykket  3x+3  er et polynom av første grad, fordi x er av første grad. Uttrykket  2x2-2x+4  er et polynom av andre grad, fordi vi har et ledd hvor xer opphøyd i andre potens, og to er den høyeste eksponenten x har. x-4+2x3  er et eksempel på et tredjegradspolynom, fordi den høyeste eksponenten av x her er tre.

Det er vanlig å ordne et polynom slik at leddet med den høyeste eksponenten kommer først, leddet med nest høyest eksponent kommer som nummer to osv. Fjerdegradspolynomet  -5+3x3-x2+7x4  skriver vi på ordnet form som  7x4+3x3-x2-5. Tallene foran potensene av x kaller vi for koeffisienter. I dette fjerdegradspolynomet er koeffisienten foran x2 lik -1.

Lineære funksjoner og andregradsfunksjoner er polynomfunksjoner av henholdsvis første og andre grad. Tredjegradsfunksjoner er polynomfunksjoner av tredje grad.

Vi tegner grafen til tredjegradsfunksjonen f gitt ved

fx=13x3+12x2-x-1

Tredjegradsfunksjonen f av x er lik en tredjedels x i tredje pluss en halv x i andre minus x minus 1 tegna i et koordinatsystem og med markering av toppunktet, bunnpunktet, nullpunktene og skjæringspunktet med andreaksen. Illustrasjon.
Tredjegradsfunksjon med toppunkt, bunnpunkt, nullpunkter og skjæringspunkt med andreaksen

Nullpunkter

Funksjonen har nullpunktene  x=-2,2,  x=-0,8  og  x=1,6.

Skjæring med 𝑦-aksen

Grafen skjærer y-aksen når  x=0. Skjæringspunktet er 0, -1.

Topp- og bunnpunkter

Grafen har toppunkt -1.6, 0.5.
Grafen har bunnpunkt 0.6, -1.3.

For andregradsfunksjoner sa vi at en funksjon hadde sin laveste verdi i bunnpunktet og høyeste verdi i toppunktet. En tredjegradsfunksjon kan ha høyere verdier enn i toppunktet andre steder på grafen. Vi sier allikevel at grafen har et toppunkt, selv om det bare er lokalt.

Ekstremalpunkter

Du har sett at kommandoen i GeoGebra for å finne topp- eller bunnpunkter er «Ekstremalpunkt[<Polynom>]».

I Eksamensveiledning 2019 fra Utdanningsdirektoratet defineres ekstremalpunkt som førstekoordinaten til et topp- eller bunnpunkt. Ekstremalverdi er andrekoordinaten til et topp- eller bunnpunkt.

Et ekstremalpunkt er et fellesnavn for maksimal- eller minimalpunkter.

Et maksimalpunkt er førstekoordinaten til et toppunkt. Andrekoordinaten kalles en maksimalverdi.

Et minimalpunkt er førstekoordinaten til et bunnpunkt. Andrekoordinaten kalles en minimalverdi.

Læringsressurser

Ikke-lineære funksjonstyper

SubjectEmne

Fagstoff

SubjectEmne

Oppgaver og aktiviteter