Hopp til innhold

  1. Home
  2. 1T - Matematikk fellesfagChevronRight
  3. FunksjonerChevronRight
  4. Ikke-lineære funksjonstyperChevronRight
  5. Andregradsfunksjoner, introduksjonChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Andregradsfunksjoner, introduksjon

Vi skal se på noen praktiske eksempler på andregradsfunksjoner.

I lineære funksjoner opptrer variabelen x bare i første potens. I noen funksjoner opptrer x i andre potens. Det vil si at vi har ledd som inneholder x2. Vi kaller derfor slike funksjoner for andregradsfunksjoner.

Eksempel

Gå sammen med noen medelever og bruk et tau som er litt over 12 meter langt. Bind sammen endene og form tauet til et rektangel som figuren viser. Omkretsen til rektangelet skal være 12 m.

Mål sidelengder, og regn ut arealet til rektanglene dere får når den ene sidelengden, x, er 0, 1, 2, 3, 4, 5 eller 6 meter.

  • Omkrets av rektangel
    Noter resultatene i en verditabell, og plott punktene i et koordinatsystem.
  • Klarer du å finne en formel for arealet av firkanten når du kaller to av sidene for x?
  • Tegn grafen
  • Hva er det maksimale arealet firkanten kan få?
  • Hva forteller grafens skjæringspunkter med x-aksen?

Hvis du ikke ønsker å gjøre oppgaven selv, kan du studere løsningen.

Løsning

For hver verdi av x får vi et bestemt rektangel med et bestemt areal. Vi har altså at arealet til rektangelet er en funksjon av x. Omkretsen til rektangelet er 12 m. To og to sider er like lange, slik at vi bare har to forskjellige sidelengder. Vi kaller disse for henholdsvis grunnlinje og høyde. Grunnlinjen og høyden må til sammen være halve omkretsen, slik at når grunnlinjen er x, så må høyden være 6-x .

Funksjonen representert ved en verditabell:

Grunnlinjen i meter x 0 1
2
3
4
5
6
Høyden i meter 65
4
3
2
1
0
Areal av rektangel i m2 A(x)
0 5 8 9 8 5 0

I nederste linje har vi beregnet arealet av rektangelet for de forskjellige verdiene av x. Dette blir, som vi skal se, en funksjon av x, og vi kaller den A(x).

Toppunkt andregradsfunksjon

Vi har plottet punktene fra verditabellen i et koordinatsystem hvor førstekoordinaten er lengden på grunnlinjen og andrekoordinaten er arealet til det tilhørende rektangelet.

Vi kan også representere arealfunksjonen ved en formel:

Ax = x·6-x=6x-x2

Vi ser at vi har en andregradsfunksjon.

Vi tegner grafen til funksjonen i samme koordinatsystem, og ser at grafen går gjennom punktene som vi plottet fra verditabellen.

Grafen har et toppunkt, et punkt hvor funksjonen har sin maksimale verdi. Det vil si at det største arealet rektangelet kan få, er 9 m2.

Nullpunkter. Når grafen skjærer førsteaksen, er grunnlinjen enten 0 eller 6 meter. Vi får da ikke noe reelt rektangel, og arealet blir 0.

Eksempel

Prekestolen i Rogaland. Foto.
Prekestolen i Rogaland

Prekestolen er et fjellplatå i Rogaland som rager ca. 600 meter over Lysefjorden. Fjellveggen fra Prekestolen ned til fjorden er nesten loddrett.

Tenk deg at du står på kanten av Prekestolen og kaster en stein rett opp i luften med utgangsfart 25 m/s. På nedturen passerer steinen på utsiden av platået og havner i Lysefjorden.

Naturens lover forteller oss at høyden h til steinen er en funksjon av tiden og er tilnærmet gitt med funksjonsuttrykket

ht=25t-5t2

Her står t for tiden i sekunder etter at steinen ble kastet.

Graf over endring i høyde til fallende gjenstand. Bilde.

Høydefunksjonen er en andregradsfunksjon fordi variabelen t er i andre potens.

Vi tegner grafen til funksjonen de første 20 sekundene ved å skrive «h(t)=Funksjon[25t-5t^2, 0, 20]».

Vi finner toppunktet for eksempel ved kommandoen «Ekstremalpunkt[h]». Det viser at steinen når sitt høyeste punkt 31,3 meter over platået etter 2,5 sekunder.

Vi finner punktet B10, -250 ved å skrive «(10,h(10))». Det viser at steinen passerer 250 meter under platået etter 10 sekunder.

Vi tegner linjen y=-600 og finner skjæringspunktet mellom denne linjen og grafen for eksempel ved kommandoen «Skjæring mellom to objekt». Vi får skjæringspunktet C13.7, -600, som viser at steinen treffer Lysefjorden etter 13,7 sekunder.

Vi finner nullpunktene D0, 0 og E5, 0 for eksempel ved kommandoen «Nullpunkt[h]». Det viser at steinen forlater platået ved tiden null og passerer platået på veien ned etter 5 sekunder.  

Eksempel

En bedrift produserer x enheter av en vare per dag. Funksjonen K gitt ved

Kx=0,25x2+500

viser kostnadene (kroner) ved produksjon av x enheter.

Bedriften kan maksimalt produsere 200 enheter per dag. De produserte enhetene selges for 45 kroner per stk. Inntektene er da gitt ved

Ix=45x

Overskuddet er differensen mellom inntekter og kostnader, og overskuddsfunksjonen O er derfor gitt ved

Ox=Ix-Kx .

Figuren viser grafene til K, I og O.

Graf over kostnad, inntekt og overskudd. Bilde.

Skjæringspunktene A(11.9, 535.39) og B(168.1, 7564.61) mellom grafene til K og I viser at kostnadene er like store som inntektene ved produksjon av 12 enheter og ved produksjon av 168 enheter. Overskuddet er da lik null, og grafen til O har nullpunkter for x=12 og x=168.

Bedriften går med overskudd når det produseres mellom 12 og 168 enheter. Ved produksjon av mindre enn 12 enheter eller flere enn 168 enheter er kostnadene større enn inntektene og overskuddet er negativ. Bedriften taper penger.

Grafen til O har toppunktet E(90, 1525). Bedriften oppnår maksimalt overskudd ved å produsere 90 enheter per dag. Overskuddet per dag er da 1525 kroner.

Læringsressurser

Ikke-lineære funksjonstyper

SubjectEmne

Fagstoff

SubjectEmne

Oppgaver og aktiviteter