Hopp til innhold

  1. Home
  2. 1T - Matematikk fellesfagChevronRight
  3. Praktiske eksempler med eksponentialfunksjonerChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagstoff

Praktiske eksempler med eksponentialfunksjoner

Det typiske eksempelet på eksponentiell vekst er sparepenger som står i banken.

Eksempel

To ansiktslause miniatyrfigurar i dress står ved sida av tre pengestablar. Foto.

Hvis du setter 1 000 kr i banken i dag og får 6 % rente på pengene, kan du om ett år ta ut kroner

1 000+1 000·6100 = 1 000·1+0,06=1 000·1,06

Etter to år kan du ta ut

1 000·1,06+1 000·1,06·6100=1 000·1,06·1+0,06=1 000·1,062

Etter tre år kan du ta ut

1 000·1,062·1+0,06=1 000·1,063

Etter x år kan du ta ut  1 000·1,06x.

Tallet 1,06 kaller vi for vekstfaktoren.

Mer om vekstfaktor

Innestående beløp, B, er en funksjon av antall år i banken, x, og funksjonsuttrykket blir

Bx=1 000·1,06x

Funksjonen kalles en eksponentialfunksjon siden den variable opptrer som eksponent i en potens.

Eksponentialfunksjon. Graf.

Grafen til funksjonen viser for eksempel at beløpet på 1 000 kroner har vokst til 1 191 kroner etter 3 år og til 2 693 kroner etter 17 år.

Hvor lenge må pengene stå i banken før beløpet er fordoblet?

Vi finner svaret ved å tegne den rette linja  y=2·1 000=2 000  i samme koordinatsystem som grafen til B og så finne skjæringspunktet mellom linja og grafen. Pengene må stå i banken i 12 år.

Dette kan vi også finne ved regning.

Vi setter antall år pengene må stå i banken lik x og får likningen

1 000·1,06x=2·1 000

Dette er en eksponentiallikning.

Løsning av likning i CAS. Bilde.

Denne likningen løser vi ved CAS i GeoGebra

Eksempel

Jente holder nøkkel til ny bil. Foto.

Kari kjøper en fire år gammel bil for 200 000 kroner. Bilen har sunket i verdi med 10 % hvert år siden den var ny. Kari regner med at verdien vil synke på samme måte de neste årene.

Verdien på bilen ett år etter at Kari kjøpte den blir kroner

200 000-200 000·10100 = 200 000·1-10100=200 000·0,90

Verdien på bilen x år etter at Kari kjøpte den blir kroner 200000·0,90x

Når har verdien på bilen sunket til halvparten av det Kari betalte for den, og hva kan vi regne med at bilen kostet da den var ny?

Bilens verdi Vx, x antall år etter at Kari kjøpte den, er da gitt ved eksponentialfunksjonen

Vx=200 000·0,90x

Graf

Vi tegner grafen til V.

Vi tegner den rette linja y=200 000·12=100 000 og finner skjæringspunktet mellom denne og grafen til V. Da ser vi at bilen er verdt 100 000 kroner om cirka seks og et halvt år. Så skriver vi -4, V(-4) i inntastingsfeltet og får et nytt punkt på grafen til V. Da ser vi at bilen kostet omtrent 305 000 kroner da den var ny.

Utregning av funksjonsverdi i CAS. Bilde.

Vi kan finne det samme ved regning. Husk at du ikke trenger definere funksjonen på nytt når den finnes i algebrafeltet.