1. Home
  2. Matematikk for realfagChevronRight
  3. DifferensiallikningerChevronRight
  4. Andreordens homogene differensiallikningerChevronRight
  5. Harmoniske svingningerChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Harmoniske svingninger

Hva slags bevegelse får et lodd som er hengt opp i en spiralfjær?

Skjematisk figur av et lodd opphengt i en spiralfjær. Illustrasjon.

Figur 1
En fjær henger i taket.


Figur 2
Et lodd med masse m henges i fjæren. På grunn av tyngden til loddet strekkes fjæren en lengde s. Fjærkraften, kraften på loddet fra fjæren, er proporsjonal med lengden s, og virker oppover. Tyngdekraften, mg, er rettet nedover.
Når loddet henger i ro i likevektsstillingen, sier Newtons første lov at summen av kreftene som virker på loddet er null. Det betyr at

mg-ks=0

Figur 3
Loddet trekkes så nedover en strekning y fra likevektsstillingen og slippes. Da vil loddet svinge opp og ned om likevektsstillingen. Dette kan vi forklare slik:

Vi forutsetter at det bare er fjærkraften og tyngdekraften som virker på loddet. Tyngdekraften virker alltid nedover, mens fjærkraften kan skifte retning. Når fjæren er strukket, virker fjærkraften oppover og når fjæren er presset sammen, virker fjærkraften nedover. Fjærkraften er alltid proporsjonal med forlengelsen av fjæren, y+s.

Vi definerer positiv retning nedover. Da er alltid fjærkraften lik -ky+s fordi at når fjæren er strukket, er y+s positiv og fjærkraften er negativ, peker oppover og når fjæren er presset sammen, er y+s negativ og fjærkraften er positiv, peker nedover.

Når loddet befinner seg under likevektsstillingen, er fjærkraften i absoluttverdi større enn tyngdekraften, og loddet trekkes oppover.
Når loddet befinner seg over likevektsstillingen, men ikke lenger enn at fjæren fortsatt er strukket, er tyngdekraften i absoluttverdi større enn fjærkraften og loddet trekkes nedover.
Hvis fjæren er sammenpresset, virker begge kreftene nedover.

Loddet trekkes altså alltid mot likevektsstillingen og vil svinge rundt denne.

Hvordan blir så denne svingningen? Utgangspunktet vårt er Newtons andre lov som sier at summen av kreftene som virker på loddet er lik massen multiplisert med akselerasjonen

ma = mg-k(x+s)=mg-ky-ks    Husk at mg-ks=0=-ky

Akselerasjonen a er den andrederiverte av strekningen y med hensyn på tiden t.

Det gir den andreordens homogene differensiallikningen

my''+ky = 0y''+kmy=0

Kloss og fjær. Illustrasjon.

Vi får en tilsvarende situasjon hvis fjæren er festet til en kloss som ligger på et friksjonsfritt bord og andre enden av fjæren er festet til en loddrett vegg.

Når klossen dras en strekning y i positiv retning og slippes, er -ky den eneste kraften som virker på klossen. Kraften virker i negativ retning når y er positiv, det vil si når fjæren er strukket og kraften virker i positiv retning når y er negativ, det vil si når fjæren er presset sammen.

Newtons andre lov sier at summen av kreftene som virker på klossen er lik massen multiplisert med akselerasjonen.

Vi får samme likning for svingebevegelsen som ovenfor, og loddet vil svinge rundt likevektsstillingen

ma=-kymy''+ky=0y''+kmy=0

Eksempel

Skjematisk figur av et lodd opphengt i en spiralfjær. Illustrasjon.

Et lodd med masse m=1,0 kg henger i en fjær. Fjærkonstanten er k=4 N/m. Loddet dras 0,5 m nedover i positiv retning før det slippes.

Vi tar det fra begynnelsen igjen. Newtons andre lov gir

ma = mg-ky+s=mg-ky-ksmg-ks=0=-ky

Differensiallikningen som beskriver svingebevegelsen blir

my''+ky = 0y''+kmy=0

Den karakteristiske likningen blir

r2+km = 0r2+41=0     r2=-4      r=±-4      =±2-1                                     r1=0+2i      r2=0-2i

Den generelle løsningen blir

y = eAtCsinBt+DcosBt=e0tCsin2t+Dcos2t=Csin2t+Dcos2t

Startbetingelsen y(0)=0,5 gir

0,5 = Csin(2·0)+Dcos2·0=0+D·1  D=0,5

Ved tiden null er også farten null. Vi deriverer derfor uttrykket for y og setter y'0=0.

y=Csin2t+Dcos2t=Csin2t+0,5cos2ty'=2Ccos2t-2·0,5sin2t0 = 2Ccos2·0-sin2·0=2CC=0

Likningen for avstanden fra likevektslinjen som funksjon av tiden blir da

y = Csin2t+Dcos2t=0,5cos2t

I CAS i GeoGebra skriver vi "LøsODE(y″+4y=0, (0, 0.5)(0,0))".

Vi har fått en modell i form av en periodisk funksjon som viser avstanden fra likevektslinjen som funksjon av tiden for et lodd som henger i en fjær og som dras og slippes fra en avstand 0,5 m fra likevektslinjen.

Ifølge modellen, vist ved grafen nedenfor, vil loddet svinge rundt likevektstillingen i all evighet.

Bilde av et koordinatsystem

Dette kalles en harmonisk svingning. I virkeligheten vil de aller fleste svingninger dempes etterhvert. Det kan du finne ut mer om på siden Dempete svingninger.

Læringsressurser

Andreordens homogene differensiallikninger