1. Home
  2. Matematikk for realfagChevronRight
  3. DifferensiallikningerChevronRight
  4. Andreordens homogene differensiallikningerChevronRight
  5. Når den karakteriske likningen har to komplekse løsningerChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Når den karakteriske likningen har to komplekse løsninger

Hva blir løsningen til en andre ordens lineær og homogen differensiallikning når den karakteristiske likningen ikke har reelle løsninger?

Vi tenker oss en andre ordens lineær og homogen differensiallikning. Vi prøver å løse den karakteristiske likningen og ser på det tilfellet at det som står under rottegnet er negativt.

Du er vant med at vi da sier at andregradslikningen ikke har noen løsning. For eksempel kan du si at "Det går ikke an å ta kvadratroten av -1", eller "Det fins ikke noe tall som opphøyd i andre er lik -1".

Eller finnes det likevel?

Problemet kan sammenliknes med problemene rundt innføringen av de negative tallene. I de tidligste kulturene ble det bare brukt positive tall. Da behovet for negative tall og tallet null etter hvert oppstod, tok det flere hundre år før de ble fullt ut akseptert. Man diskuterte om negative tall virkelig eksisterte.

Ved å innføre komplekse tall, er problemet med negative tall under rottegnet i løsningsformelen for andregradslikninger løst.

Tallet i=-1 ble innført.

Da er for eksempel -16=16·-1=4i .

Et komplekst tall består av en reell del og en imaginær del og defineres som A+Bi hvor A utgjør den reelle delen av tallet og Bi den imaginære delen. A og B er reelle tall.

Bilde av et koordinatsystem

Vi kan oppfatte de komplekse tallene som punkter i et koordinatsystem hvor i er enheten langs andreaksen, den imaginære akse, og 1 er enheten langs førsteaksen, den reelle aksen.

Vi oppfatter da det komplekse tallet A+Bi som et punkt med koordinatene (A, B).

Alle våre til nå kjente reelle tall ligger på den reelle aksen.

Det kan vises at

Når den karakteristiske likningen

r2+br+c=0

har to komplekse løsninger r1=A+Bi og r2=A-Bi, så har differensiallikningen

y''+by'+cy=0

den generelle løsningen

y=eAxCsinBx+DcosBx

hvor koeffisientene C og D er vilkårlige konstanter

Eksempel. Komplekse løsninger

Komplekse løsninger på karakteristisk likning 1

Vi ønsker å finne den generelle løsningen av differensiallikningen

y''+2y'+5y=0

Vi vil også vise at løsningen blir

y=e-x0,25sin2x+0,5cos2x hvis y=0,5 og y'=0 når x=0.

Den karakteristiske likningen blir

r2+2r+5=0

Vi løser likningen og får to komplekse (ikke-reelle) løsninger.

r1,2 = -2±22-4·52r1,2=-2±-162r1,2=-2±4-12Tallet under rottegnet er negativt.r1=-1+2i      r2=-1-2i

Den generelle løsningen blir

y = eAxCsinBx+DcosBx=e-xCsin2x+Dcos2x

Vi har at y=0,5 og y'=0 når x=0.

Vi regner først ut y'.

y=e-xCsin2x+Dcos2xy' = -e-xCsin2x+Dcos2x+e-x2Ccos2x-2Dsin2x=e-x2Ccos2x-2Dsin2x-Csin2x-Dcos2x=e-x2C-Dcos2x-2D+Csin2x

For å finne konstantene C ogD, bruker vi først randbetingelsen y=0,5 når x=0.

   y = e-xCsin2x+Dcos2x0,5=e-0Csin2·0+Dcos2·00,5=10+D·1   D=0,5

Så bruker vi den andre randbetingelsen y'=0 når x=0.

     y' = e-x2C-Dcos2x-2D+Csin2x      0=e-02C-Dcos2·0-2D+Csin2·0      0=12C-D·1-2D+C·02C-D=0    2C=D=0,5      C=0,25

Løsningen på differensiallikningen med randbetingelsene er altså

y = e-xCsin2x+Dcos2x=e-x0,25sin2x+0,5cos2x

Ved CAS i GeoGebra: "LøsODE(y″+2y′+5y=0, (0, 0.5),(0,0))"

Komplekse løsninger på karakteristisk likning 2

Læringsressurser

Andreordens homogene differensiallikninger