1. Home
  2. Matematikk for realfagChevronRight
  3. DifferensiallikningerChevronRight
  4. Andreordens homogene differensiallikningerChevronRight
  5. Når den karakteristiske likningen har én reell løsningChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Når den karakteristiske likningen har én reell løsning

Hva blir løsningen til en andre ordens lineær og homogen differensiallikning når den karakteristiske likningen har én reell løsning?

Det kan vises at

Når den karakteristiske likningen

r2+br+c=0

har én reell løsning r, så har differensiallikningen

y''+by'+cy=0

den generelle løsningen

y=Cerx+Dxerx

hvor koeffisientene C og D er tilfeldige konstanter.

En reell løsning på karakteristisk likning

Eksempel. Èn reell løsning

Vi vil finne den generelle løsningen av differensiallikningen

y''-2y'+y=0

Vi vil også sette prøve for å kontrollere at den løsningen vi har funnet er riktig.

Den karakteristiske likningen blir

r2-2r+1=0

Vi løser den karakteristiske likningen.

r1,2 = 2±-22-4·12=2±02r=1

Likningen har to like løsninger, eller om vi vil én (reell) løsning. Den generelle løsningen blir

y = Cerx+Dxerx=Ce1x+Dxe1x=Cex+Dxex

For å sjekke om løsningen er riktig, regner vi ut y' og y'' og setter inn i differensiallikningen.

y = Cex+Dxexy'=Cex+Dex+Dxexy''=Cex+Dex+Dex+Dxex    =Cex+2Dex+Dxex

Vi setter så inn i differensiallikningen y''-2y'+y=0, for å sjekke at løsningen vår er riktig

Venstre side

y''-2y'+y = Cex+2Dex+Dxex-2Cex+Dex+Dxex+Cex+Dxex             =Cex+2Dex+Dxex-2Cex-2Dex-2Dxex+Cex+Dxex             =0

Siden venstresiden og høyresiden begge er lik null, er løsningen riktig.

Ved CAS i GeoGebra: "LøsODE(y″-2y′+y=0)"

Læringsressurser

Andreordens homogene differensiallikninger