1. Home
  2. Matematikk for realfagChevronRight
  3. DifferensiallikningerChevronRight
  4. Andreordens homogene differensiallikningerChevronRight
  5. Når den karakteristiske likningen har to reelle løsningerChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Når den karakteristiske likningen har to reelle løsninger

Hva blir løsningen til en andre ordens lineær og homogen differensiallikning når den karakteristiske likningen har to reelle løsninger?

Det kan vises at

Når den karakteristiske likningen

r2+br+c=0

har to reelle løsninger r1 og r2, så har differensiallikningen

y''+by'+cy=0

den generelle løsningen

y=Cer1x+Der2x

hvor koeffisientene C og D er vilkårlige konstanter.

To reelle løsninger på karakteristisk likning

Eksempel. To reelle løsninger

Vi vil finne løsningen av differensiallikningen

y''-2y'-3y=0

når vi har gitt randbetingelsene

y(0)=2 og y'0=1.

Den karakteristiske likningen blir

r2-2r-3=0

Vi løser den karakteristiske likningen.

r1,2 = 2±-22-4·-32r1,2=2±162 r1=-1      r2=3

Vi fikk to (reelle) løsninger. Den generelle løsningen av differensiallikningen er da

y  =  Cer1x+Der2x=Ce-x+De3x

Randbetingelsen y0=2 gir at

Ce-0+De3·0 = 2         C+D=2

Vi regner ut y'.

y = Ce-x+De3xy'=-Ce-x+3De3x

Når vi tar hensyn til randbetingelsen y'0=1 får vi

                    y' = -Ce-x+3De3x-Ce-0+3De3·0=1           -C+3D=1

Det gir to likninger og to ukjente

C+D=2-C+3D=1C=2-D-2-D+3D=1 C=2-DD+3D=3C=54D=34

Vi setter så verdiene for konstantene inn i den generelle løsningen og får løsningen

y=54e-x+34e3x

Ved CAS i GeoGebra: "LøsODE(y″-2y′-3y=0, (0, 2),(0, 1))"

Læringsressurser

Andreordens homogene differensiallikninger