1. Home
  2. Matematikk for realfagChevronRight
  3. DifferensiallikningerChevronRight
  4. ModelleringChevronRight
  5. Populasjonsvekst. Logistisk vekstChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Populasjonsvekst. Logistisk vekst

Ingen ting vokser inn i himmelen...

Bilde av bakteriekultur under mikroskop. Foto.
Bakteriekultur under mikroskop. Er vekstfarten proporsjonal med størrelsen på populasjonen?

I naturen utgjør en samling individer av en art innenfor et avgrenset område en populasjon.

Hvis en art får formere seg under stabile forhold med jevn tilgang til mat i et stabilt klima og med fast prosentvis reduksjon på grunn av sykdommer og rovdyr, kan vekstfarten til antall individer i populasjonen være proporsjonal med størrelsen på populasjonen. Hvert individ genererer i gjennomsnitt like mange nye individer, og det er derfor antall individer til enhver tid som bestemmer veksten.

Da har vi i tilfelle proporsjonal vekst, slik som med banksparing med kontinuerlig forrentning, som du kan finne på siden Proporsjonal vekst. Proporsjonalitetskonstanten avhenger av de faktorer som har betydning for utviklingen.

Under slike stabile forhold, hvor vi lar N betegne antall individer i et område, kan utviklingen beskrives av differensiallikningen

N'=k·N

Hvis vi løser denne likningen, får vi

                    N' = k·N             N'-k·N=0N'·e-kt-k·N·e-kt=0·e-kt            N·e-kt'=0                N·e-kt=0 dt                =C                       N=Ce-kt                       =C·ekt

hvor C står for antall individer ved starten.

I naturen kan slike stabile forhold forekomme i et begrenset tidsintervall når en populasjon får utvikle seg med ubegrenset tilgang til mat og uten naturlige fiender og sykdommer. Et typisk eksempel kan være utviklingen av antall bakterier i en bakteriekultur i en tidlig utviklingsfase.

En vanlig utvikling er at når antall individer i en populasjon blir stort nok, så inntrer endringer. Tilgangen til næring begrenses på grunn av et stort antall individer og sykdommer oppstår. Ingen populasjoner kan vokse ubegrenset. Bæreevnen, B, for et område forteller hvor mange individer det aktuelle området maksimalt kan gi næring til. Du kan lese mer om bæreevne på NDLA Naturfag på siden Vekst i populasjoner.

Biologer har funnet ut at under ustabile forhold i et område med bæreevne B, vil en modell hvor veksten er proporsjonal med både antall individer og differensen mellom bæreevnen og antall individer, beskrive utviklingen på en god måte.

N'=k·N·B-N

Bilde av trær i froskeperspektiv fra Redwood National Park
Logistisk vekst?

Vi ser at etter denne modellen vil veksten være null når antall individer har nådd bæreevnen.

Denne modellen for vekst kalles for logistisk.

Modellen for logistisk vekst kan også brukes for å beskrive veksten til for eksempel et tre. Treets høyde utvikler seg nærmest eksponentielt den første tiden. Siden flater veksten ut og treet
nærmer seg gradvis sin maksimalhøyde.

Vi vil løse differensiallikningen for logistisk vekst. Antall individer er funksjon av tiden.

N'=k·N·B-N

Likningen er separabel og vi dividerer slik at vi får N og N' i ett ledd på venstre side

N' = k·N·B-N1NB-NN'=k

Vi spalter så i delbrøker før vi integrerer

1NB-N = aN+bB-N =a·B-NN·B-N+b·NB-N·N=aB-aN+bNN·B-N=b-aN+aBN·B-N

Vanligvis bruker vi stor A og B i forbindelse med delbrøkoppspalting. For ikke å blande sammen med bæreevnen, B, bruker vi her er liten a og b.

Siden telleren i brøken til venstre skal være lik telleren i brøken til høyre, 
må vi ha

b-aN=0a·B=1}a=b=1B

Vi får to brøker og kan integrere. (Husk at B er en konstant, mens N er populasjonsfunksjonen.)

1NB-NN' = k1BN+1BB-NdNdt=k1B1N+1B-N dN=k dt1B1N dN+1B-N dN=k dt

For å finne 1B-N dN bruker vi variabelskifte (substitusjon).

u = B-Ndu=-dNdN=-du

Dette gir oss at

1B-N dN=-1u du=-lnB-N

Vi får da

1B1N dN+1B-N dN = k dt      1BlnN-lnB-N=k·t+C1                lnN-lnB-N=B·k·t+C2,N>0 og B-N>0                           lnNB-N=B·k·t+C2,C2=B·C1                            elnNB-N=eB·k·t+C2                              NB-N=eB·k·t+C2                                   N=eB·k·t+C2B-N                                   =eBkt·eC2·B-eBkt·eC2·N                  eBkt·C3·N+N=eBkt·C3·B , C3=eC2                     NC3eBkt+1=BC3eBkt                                    N=BC3eBktC3eBkt+1                                    =B1+Ce-Bkt , C=1C3

Vi har nå funnet den generelle løsningen på differensiallikningen som beskriver en logistisk modell.

Differensiallikningen nedenfor beskriver en logistisk modell

y'=k·y·B-y ,   y0, B

Den generelle løsningen av differensiallikningen er

y=B1+Ce-Bkt

Bilde av bakterier under mikroskop
Bakterier under mikroskop.

Eksempel 1

Antall bakterier i en forurenset vannbeholder er til å begynne med 5 000. Den første timen øker antall bakterier med 900. Vi antar at antall bakterier følger en logistisk vekstmodell og at bæreevnen for antall bakterier i vannbeholderen er 50 000.

Vi bruker resultatet i tekstboksen over og lar N være bakterieantallet etter t timer. Den første opplysningen betyr at

N(0)=5 000

Den andre opplysningen betyr at

N'(0)900

Den tredje opplysningen gir videre at

B=50 000

Etter en logistisk vekstmodell er

N'=k·N·B-N

Problemet nå er at vi ikke kjenner konstanten k. I vår bakteriekultur for t=0 gjelder at

900 = k·5000·50 000-5000   k=0,000 004

Vekstmodellen blir nå

N'=0,000 004·N·50 000-N

Den generelle løsningen er

N=B1+Ce-Bkt = 50 0001+Ce-50 000·0,000004tN=50 0001+Ce-0,2t

Det var 5000 bakterier ved tiden t=0. Det betyr at

5000 = 50 0001+Ce-0,2·0C+1=50 0005000    C=10-1    C=9

Vi får da denne logistiske vekstmodellen

N=50 0001+9e-0,2t

Antall bakterier etter henholdsvis 3, 24 og 48 timer er

N3=50 0001+9·e-0,20·38419  N24=50 0001+9·e-0,20·2446552  N(48)=50 0001+9·e-0,20·4849970

Vi ser også grafisk at antall bakterier etter hvert nærmer seg bæreevnen på 50 000 bakterier i vannbeholderen.

Bilde av et koordinatsystem

Eksempel 2

Antall ørret i et vann har økt kraftig etter at det ble begynt med kalking av vannet i 1996. Tabellen nedenfor viser antall ørret i vannet noen år etter 1996.

Årstall1996199820002002200420062008
Antall år etter 1996, t024681012
Antall ørret i tusen, N46,711,41721,524,526

For å undersøke om utviklingen i bestanden følger en logistisk vekstmodell, bruker vi logistisk regresjon i GeoGebra.

Logistisk regresjon i GeoGebra av ørretpopulasjon. Utklipp.

Regresjonen gjøres med vanlig framgangsmåte. Vi skriver først inn tallene i regnearkdelen i GeoGebra, markerer dem og velger Regresjonsanalyse. Så må vi passe på å velge logistisk regresjonsmodell.

Minner om modellen for logistisk vekst: y=B1+Ce-Bkt

Vi får resultatet

N(t)=27,741+6,6e-0,39t

Vi kopierer resultatet over i grafikkfeltet. På bildet nedenfor har vi også lagt inn en linje som markerer bæreevnen til vannet.

Bilde av koordinatsystem

Vi ser at modellen beskriver den faktiske utviklingen ganske bra.

Når tiden blir stor vil e-0,39t bli mindre og mindre, og antall ørret i vannet vil nærme seg bæreevnen til vannet, som etter modellen er på 27 740 ørret.

Bilde av mennesker som fisker på isen
Fiskelykke? Isfestival i Korea. Rundt hundre tusen mennesker samles for å fiske ørret gjennom hull i isen på en frossen elv i Hwacheon nordøst for Seoul.

Læringsressurser

Modellering

SubjectEmne

Fagstoff

SubjectEmne

Oppgaver og aktiviteter